Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh môn Toán

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 Ngày thi: 21/ 3 / 2017

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4,5 điểm)

1) Tìm m để hàm số cos3 6 cos 2 21cos 2 8 y x m x x m = + − + − đồng biến trên khoảng ( ) 0;π .

2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 f x x m x m m = + − + + − có hai

điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2. 2 y x = −

Câu 2 (4,5 điểm)

1) Giải phương trình 3 2 3 2 tan tan 4tan cot cot 4cot 8. x x x x x x − + + − + =

2) Giải phương trình ( ) ( ) 4 2 2 5 2 log 7 3 log 7 4 , x x x x + − = + − ( ) x∈ℝ.

3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh

xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn

nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau. Câu 3 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 2 3 3 3 3 3 2 2 4 3 2 4 2, x x x x x x + + + = + + + + + ( ) x∈ℝ.

2) Tính tích phân ( ) 4 2

0

log 2sin cos

1 cos2

x x I dx x

π + = + ∫ .

Câu 4 (6,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3 2 3 0 x y − + − = và hai

đường tròn ( )

2 2 1 : 2 6 6 0 C x y x y + + − + = ; ( ) ( ) 2 2 2 : 3 1. C x y + + = Viết phương trình đường tròn ( ) C

tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ) 1 C , đồng thời ( ) C cắt ( ) 2 C tại hai điểm

, A B phân biệt mà AB d ⊥ .

2) Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình thoi, 90o ABC > . Góc giữa ' A C và mặt

đáy ( ) ABCD bằng 30o ; góc giữa hai mặt phẳng ( ) ' A BC và ( ) ABCD bằng 45o ; khoảng cách từ điểm

' C đến mặt phẳng ( ) ' A CD bằng .a Gọi E là trung điểm cạnh CD . Tính thể tích khối hộp đã cho và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ' AA DE .

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0;9;0) A , (4;3;25) M và cắt hai tia , Ox Oz lần lượt tại hai điểm , B C khác O sao cho OB OC + nhỏ nhất.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực , , x y z không âm đôi một phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 1 1 1 P x y z

x y y z z x

  = + + + +   − − −    

.

------ HẾT ------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:.................................. Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................................................................... Giám thị 2 (Họ tên và ký)..........................................................................................................

ThuVienDeThi.com

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NGÀY THI 21/3/2017 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 4.5đ

1.1. (2.5 điểm)

cos3 6 cos 2 21cos 2 8 y x m x x m = + − + − ( )

( )

3 2

3 2 4cos 3cos 6 2cos 1 21cos 2 8

4 cos 3 cos 6cos 2

x x m x x m

x m x x m

= − + − − + −

= + − − − 0. 5

Đặt cos t x = , hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) 0;π khi và chỉ khi hàm số

( )

3 2 3 6 2 f t t mt t m = + − − − nghịch biến trên ( ) 1;1 − 0.5

( ) ( ) 2 2 ' 3 6 6 3 2 2 f t t mt t mt = + − = + −

Hàm số ( )

3 2 3 6 2 f t t mt t m = + − − − nghịch biến trên ( ) 1;1 −

( ) 2 2 2 0, 1;1 t mt t ⇔ + − ≤ ∀∈−

0.5

( ) ( )

△ 2 2 0

' 1 0

' 1 0

'

f

f

m  + >  ⇔ − ≤  ≤ 

=

0.5

1 2 0 1 1 . 1 2 0 2 2

m m m

−− ≤  ⇔ ⇔− ≤ ≤ −+ ≤ 

Kết luận.

0.5

1.2 (2.0 điểm)

Ta có 2 2 ' 3 3. y x m = + − Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 2 3 0 3. m m − < ⇔ < 0.5

Giả sử 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) A x y B x y là hai điểm cực trị.

Tính được hệ số góc của đường thẳng AB là ( ) 2 1 2

1 2

( ) ( ) 2 3 . 3

f x f x k m x x

− = = − − 0.5

Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua …