Bài tập Toán 12 - Học kỳ II - Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

Trang 1

PHẦN I: GIẢI TÍCH CHƯƠNG III – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§1. NGUYÊN HÀM A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Khái niêm nguyên hàm:

1. Định nghĩa: Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) F x ( ) f x nếu '( ) ( )  F x f x 2. Định lý: Nếu là nguyên hàm của hàm số thì: ( ) F x ( ) f x a) cũng là một nguyên hàm của với C là một hằng ( )  F x C ( ) f x số tùy ý. b) Mọi nguyên hàm của hàm số đều có dạng với C ( ) f x ( )  F x C là một hằng số tùy ý. Do đó với được gọi là 1 họ nguyên hàm của hàm số ( )  F x C R C ( ) f x

và được ký hiệu là . Vậy ta có: ( ) f x dx

( ) ( ) ,     R f x dx F x C C

II.Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng

1 1.   dx x C .   a dx ax C

2

1

1

 



    

x x dx C

1 1 ( ) ( ) . 1

 



      

ax b ax b dx C a

3 1 ln    dx x C x

1 1.ln      dx ax b C ax b a

4 1 2    dx x C x

1 1.2      dx ax b C a ax b

5 2 1 1    dx C x x

2 1 1 1 . ( )      dx C ax b a ax b

6 cos sin    xdx x C 1 cos( ) .sin( )      ax b dx ax b C a

7 sin cos    xdx x C 1 sin( ) .cos( )      ax b dx ax b C a

8 2 1 tan cos    dx x C x

2

1 1.tan( ) cos ( )      dx ax b C ax b a

9 2 1 cot sin    dx x C x

2

1 1.cot( ) sin ( )      dx ax b C ax b a

10   

x x e dx e C 1.     

ax b ax b e dx e C a

ThuVienDeThi.com

Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

Trang 2

11 ln

     

x xdx C 1. ln

  

    

ax b ax bdx C a

III.Môt số tính chất của nguyên hàm:

   ( ) ( ) ( ) ( )       f x g x dx f x dx g x dx

 với mọi số thực . ( ) ( )    kf x dx k f x dx k

IV.Các công thức thường sử dụng khi tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác:

1.   1 cos cos cos( ) cos( ) 2     a b a b a b

2.   1 sin sin cos( ) cos( ) 2     a b a b a b

3.   1 sin cos sin( ) sin( ) 2     a b a b a b

4.

2 1 cos2 1 1 cos cos2 2 2 2     x x x

5.

2 1 cos2 1 1 sin cos2 2 2 2     x x x

6.

2 2 2 1 1 sin .cos sin2 sin .cos sin 2 2 4    x x x x x x

7.

2 2 sin cos 1 x x  

8.

2

2 1 tan 1 cos x x  

9.

2

2 1 cot 1 sin x x  

B- BÀI TẬP: 1. Tìm các nguyên hàm sau:

a) 3 2 1 3         x x dx x

b)   2 3  x x dx

c)  

3 2 3   x dx

d)  

3 1 x x dx

e)  

2 2  x x dx

f)   3 4    x x x dx

g)  

2014 1 3   x dx

h)  

2000 1

4 5   dx x

i) 2 1  dx x

j)

2 1 2  

x dx x

k) 2

1  

x dx x

l) 2 2 3  

x dx x

ThuVienDeThi.com

Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

Trang 3

m)

2

2 2 3 4   

x x dx x

n) 3 1 1         dx x x

o)

2 2

2 ( 4)  

x dx x

p)  

2 1  

x

dx x

q)

3 2 5  

x x dx x

r)

2 3 1 1    

x x dx x

s)

2 3 2   

x x dx x

t)

4 2

2 3 2 1    

x x x dx x

u)

2 1        x dx x

v)

2 2        x x dx x

2. Tìm các nguyên hàm sau:

a)   2 3 6 8   

x x dx

b)   1 2 4 3 2    

x x e dx

c) 1 2 x dx

d) 2 7

x

x dx

e) 2 1 3  

x dx

f)   – 1 

x x e e dx

g)

2 1 1  

x

x e dx e

h)

4 4 2 4 1 3 3 2

           

x x e x dx x

i) 2 2 cos

        

x x e e dx x j) (3. 5)  

x x e e dx

k) 1  

x xe x dx x

l) (1 )   

x

x x e x dx xe

3. Tìm các nguyên hàm sau:

a)   3sin2 5cos6   x x dx

b)   sin9  x x dx

c) sin3 sin  x xdx

d) 2sin3 cos2  x xdx

e) cos5 .cos3  x xdx

f)

2 2sin 2 

x dx

g)

2 cos 2 

x dx

h) 2 1 cos3 sin(5 1) cos 2           x x dx x

i)

3

2 1 5 sin3 sin 5         

x x dx x

j)

2 4cos sin 2        

x x dx

k)   2 1 tan   x dx

l)   2 1 cot 3   x dx

m) 2 tan  xdx

n) 2 (cot 3)   x dx

o) 2 2 1 sin .cos  dx x x

p) 2 cos2

cos 

x dx x

q)

2 sin cos 2 2        

x x dx

r) 1 1 cos2   dx x

ThuVienDeThi.com