Đề thi chọn hsg lớp 11 THPT năm học 2010 - 2011 đề thi môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình:     2 3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0 x x x x x       

2. Giải hệ phương trình:  

2 2

2 2 2 1

2 3 1 , , 1

x y

y z x y z xy yz zx

            

A

Câu II (2 điểm) Giả sử lần lượt là số đo các góc của tứ giác lồi , , , A B C D A A A A , , , DAB ABC BCD CDA ABCD bất kì.

1. Chứng minh rằng . sin sin sin 3sin 3 A B C A B C     

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . sin sin sin sin 3 A P B C D    

Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho . 9 Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm 1 1 1 , , A B C 1 AA 1 CC ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng I 1 AA BC N 1 BB tại điểm . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng cắt 1 1 AC P 1 IPC OP

đường thẳng tại điểm M. Biết rằng và . Tính các góc của tam BC BM MN  A A 2 BAC ABC  giác ABC. Câu V (1 điểm)

Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với mọi     : 0; 0; f     1 3 2 2 2 f x f f x x         . Chứng minh rằng với mọi . 0 x   f x x  0 x 

-------------Hết-------------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH VĨNH PHÚC

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)

Đáp án gồm 5 trang

Câu Nội dung Điểm I.1 (2 điểm)

     

2

2 2

3 1 cos 3 1 sin .cos sin cos 3 0

3 cos 1 3sin .cos cos sin .cos sin cos 0

x x x x x

x x x x x x x x

      

        0,5

      

2 2 3sin 3sin .cos cos sin .cos sin cos 0

3sin sin cos cos sin cos sin cos 0

sin cos 3sin cos 1 0

x x x x x x x x

x x x x

      

      

    

0,5

2 sin 0 sin cos 0 4

1 3sin cos 1 sin 6 2

x x x

x x x





                              

0,5

 

4 4 2 2 6 6 2 5 2 2 3 6 6

x k x k

x k x k k

x k x k

       

    

                            

A 0,5

I.2 (2 điểm) +) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0 x  0,25 +) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được 0 x  ; y ax z bx   0,25

I 4điểm



       

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

1 2 1

4 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1

2 1 1 0 1 2 1

x a

a b a a b x a b

a a b a a a ab b x a ab b

                                    

0,5

ThuVienDeThi.com

       

2 2 2 2

2

1 1 4 3 1 4 3 1

1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 0

2 3 1 0

a b a b a b

b a a a b a a a b

a a

                                         

0,5

+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn 1 1 a b

    0,25

+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay 2

1

1 1 2

1 2 3 1 0

2 0

a b b a

a a a

b

                    

    

1

1 a b

   

vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là 1 2 0

a

b

   

2 x 

  1 1 ; ; 2; ;0 , 2; ;0 2 2 x y z            

0,25

II.1 (1 điểm)

Nhận xét. Nếu thì 0 ,0 ; 2 x y x y     

. Dấu bằng xảy ra khi sin sin 2sin cos 2sin 2 2 2 x y x y x y x y       x y  0,25

Sử dụng nhận xét trên ta có

4 sin 2sin 3 2 6 4 2 6 4sin 2 3

A B C A B A B C A B C

A B A B C

A B C

         

       

0,5

. Dấu bằng xảy ra khi . sin sin sin 3sin 3 A B C A B C      A B C   0,25

II.2 (1 điểm)

Đặt ta có , 3 B C D t     2 2 3 ; 1 3 3 A t t       0,25

II …