Đề thi học sinh giỏi Toán khối 11 năm học 2015-2016

TRƯỜNG THPT TAM QUAN TỔ TOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN K11. Năm học 2015-2016. THỜI GIAN :150 phút ( không kể thời gian phát đề ) .

Bài 1: a) Cho . Chứng minh : . tan 4tan 2 2 b a  3sin tan 2 5 3cos b a a

a   

b) Chứng minh : . 0 0 1 1 4 cos290 3sin 250 3  

c) . 8 8 1 7 35 sin cos cos8 cos4 64 16 64 x x x x    

Bài 2: a) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: . ( m là tham số) 2 sin cos 1 m x x m   

b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2 5 2cos .sin y x x   Bài 3 Giải các phương trình sau: a)

6 2 6 sin 3sin cos cos 1    x x x x

b) . 5 12cos x 5sin x 8 0 12cos x 5sin x 14      

c) ; 2 2 1 t2 .tan 1 1 6(1 sin 2 ) cos 2 co x x x x   

Bài 4: Tìm các giá trị để phương trình :  có nghiệm x =1. 2 (cos 3sin 3)x ( 3 cos 3sin 2)x sin cos 3 0          Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 . v 

Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ . v 

b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình : .Tìm 2 2 x y 2x 4y 4 0      ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ =(-2;5). v 

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN

Bài 1: a) Đặt = t thì = 4t ,do đó : tan 2

a tan 2

b

2 tan tan 3 2 2 tan 2 1 4 1 tan tan 2 2

b a b a t a b t

    

Mặt khác : . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2

2 2

2

2 3 3sin 3 1 tan 1 2 5 3cos 1 4 5 31

t b a a t t

t a t t

         

b)VT = 0 0 0 0 1 1 1 1 cos70 sin 20 3sin 70 3 cos20   

= = ( đpcm).

0 0

0 0

0 0

0

3 1 2 cos20 sin 20 2 2 3 cos20 sin 20 3sin 20 cos20 3 sin 40 2

        

0

0 4sin 40 4 3sin 40 3 

c) VT = = 4 4 2 4 4 (sin cos ) 2sin cos x x x x   2 2 2 4 4 (1 2sin cos ) 2sin cos x x x x  

= = =…. 2 2 4 4 1 4sin cos 2sin cos x x x x  

2 1 cos4 1 1 cos4 1 2 8 2 x x          

ThuVienDeThi.com

= 1 7 35 cos8 cos4 64 16 64 x x  

Bài 2: a) Pt có nghiệm  2 2 2

0 4 1 ( 1) 3 2 0 2 3

m m m m m m

          

b) . 2 2 2 1 5 2cos sin 5 sin 2 2 x x x    2 9 1 3 2 5 sin 2 5 5 2 2 2 x y       

max min

3 2 5 ; 2 2 4 y khi x k y khi x k       

Bài 3: a) 6 2 6 sin 3sin cos cos 1    x x x x 

2 2 3 2 2 2 2 2 (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 3sin cos 1      x x x x x x x x

giải phương trình này ta được nghiệm .  2 2 2 3sin cos 3sin cos 0    x x x x k x 2

 

b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình giải phương trình này ta được y 5 y 6 0 y   

=1vày =5. Do đó : 5 12cos x 5sin x 8 0 12cos x 5sin x 14      

12cos x 5sin x 14 1 12cos x 5sin x 14 5         

 12cos x 5sin x 13 (1)

12cos x 5sin x 9 (2)

      

Giải (1) và (2) ta được : ; với và . x k2   9 x arccos k2 13          

12 cos 13  5 sin 13 

c)ĐK: ; 2 x k  

2 2 1 t2 .tan 1 1 6(1 sin 2 ) cos 2 co x x x x    

2 2 cos 1 6 3sin 2 sin 2 .sin .cos

x x x x x  

 2 2 2 2 2 5 3sin 2 3 5 2 0 ( sin 2 ) sin 2 x t t t x x       



2 2

2

sin 2x 1 cos 2x 0 2 1 sin 2x cos4x cos 3 3

                



x k 4 2

x k 4 2

x k 4 2

                    Bài 4: x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức 3 cos sin 2  

hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 3 1 cos sin 1 2 2   k2 6    

Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó . Vì d’ song song với d nên d’ có v M' T (M) ( 2;2) d'    

phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0. b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi và ( C’) là ảnh của ( C) qua phép tịnh v I' T (I) ( 1;3)   

tiến theo vectơ thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt : v  2 2 (x 1) (y 3) 9    

ThuVienDeThi.com