Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 10 Ngày thi: 01/3/2017 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm)

Cho parabol

2 ( ): 1 P y ax bx   .

1) Tìm các giá trị của ;a b để parabol có đỉnh 3 11 ; 2 2 S        

.

2) Với giá trị của ;a b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng

: ( 6) 1 y x k     cắt parabol tại hai điểm phân biệt ; M N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng : d 4 2 3 0 x y    .

Bài 2 (4 điểm)

1) Giải phương trình

2 26 4 . x x   

2) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2

2 2

1 3 3

. 3 3 4( 1) 12 4

x y y y

y x x x

          

Bài 3 (4 điểm)

Cho ba số dương , , a b c. Chứng minh

3 1 1 1 2 1 . a b c a b c b c a abc                         

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác . ABC Chứng minh 0 sin 1 A B C A B B C C A        .

Bài 5 (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi ; E F là các điểm xác định

bởi 1 , 3 BE BC    1 , 2 CF CD   

đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .

1) Tính giá trị của . EACE 

theo a. 2) Chứng minh rằng · 0 90 AIC  .

---------------- HẾT ----------------

Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

ThuVienDeThi.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 4 điểm Tìm ? ;? …. 2 điểm Câu 1

Do Parabol nên ?≠0 và có trục đối xứng ?= -?

2?= ―

3 2 nên 3?- ?= 0. 0,5

Tọa độ đỉnh có tung độ là ?= ― ∆

4? mà ∆= ?2 +4? nên ta có: ?2 +4?= 22? hay ?2 - 18?= 0

0,5

Ta có hệ pt 3?- ?= 0 ?2 - 18?= 0 thế vào ta được: ?2 - 6?= 0 ⇒?= 0 ;?= 6

Nếu ?= 0 ⇒?= 0 loại. Nếu ?= 6 ⇒?= 2 thỏa mãn. Vậy ?= 2;?= 6 là giá trị cần tìm.

1,0

Câu 2 Tìm m … với parabol ?= 2?2 +6?- 1 2 điểm Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt 2?2 +6?- 1 = ??+6?+1 có hai nghiệm phân biệt?1; ?2, hay pt: 2?2 + ??- 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ?1; ?2 có ∆= ?2 +16 > 0

0,5

Khi đó, giao điểm ?(?1;(?+6)?1 +1), ?(?2;(?+6)?2 +1),

nên trung điểm của đoạn ?? là ?(

?1 + ?2

2 ;

(?+ 6)?1 + 1 + (?+ 6)?2 + 1

2 ). 0,5

Theo định lý Viet ta có ?1 + ?2 = -?

2 nên ?( ―

? 4;2 ― ?- ?2

2 ) 0,5

Do I thuộc đường thẳng 4?+2?- 3 = 0 nên –?+2 ― ?- ?2 - 3 = 0 hay ?2 +2?

+1 = 0 hay ?= ― 1 thì thỏa mãn bài toán.

0,5

Bài 2 4 điểm Giải phương trình …. 2điểm

Phương trình tương đương ?- 4 ≥0

26 ― ?2 = (?- 4)2⇔?≥4

2?2 - 8?- 10 = 0 1,0

Câu 1

Giải ra ta được x=5 thỏa mãn pt. Vậy phương trình có nghiệm là x=5. 1,0

Giải hệ phương trình … 2 điểm

Điều kiện xác định:

?≠0

4(?- 1)2 ≥3

?2 12 ― 3

?2 ≥0

Từ pt (1) ta có: ?3 = (?- 1)3 hay ?= ?- 1 thế vào pt (2)

0,5

Ta được 4?2 -

3 ?2 + 12 ― 3

?2 = 4?2.

Đặt ?= 4?2 > 0;?=

3 ?2 > 0, pttt: ?- ?+ 12 ― ?= ?

0,5

Hay 12 ― ?= ?- ?- ? ⇒12 ― ?= ?2 - 2??- ?+ ?- ? Do 12 = ?? nên pt trở thành: ?2 - 2??- ?+ ?- ??= 0 do ?≠0 nên ta có (?- ?) - 2 ?- ?+1 = 0 hay ?- ?= 1.

0,5

Câu 2

Tức là 4?2 -

3 ?2 = 1 hay ?= ± 1 Nếu ?= 1 ⇒?= 2 nên nghiệm là (?;?) = (1;2). Nếu ?= ― 1 ⇒?= 0 nên nghiệm là (?;?) = ( ― 1;0) Vậy hệ có hai nghiệm trên.

0,5

ThuVienDeThi.com