Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 năm 2017 - Trường THPT Hải An

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 TRƯỜNG THPT HẢI AN Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề ---------------- ----------------

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải bất phương trình: 2 5 1 2   x x

2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình 2 ( 1) 2 2( 1) 0      m x mx m nghiệm

đúng với  x R .

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 3 1 5 4 3 3      x x x x

2) Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2

1

(2 1) 1

      

    

x x y xy xy y

x y xy x

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi ABC ta luôn có: sin sin 2cos .cos 2 2    C A B A B

2) Chứng minh rằng với  x R ta luôn có:: 5 5 4(sin .cos sin .cos ) sin 4   x x x x x

Câu 4 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC với A(3; 2) , B(5;-2) , C(1; 1) 1) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của ABC. 2) Viết phương trình đường tròn (E) có tâm là A và tiếp xúc với đường thẳng BC. 3) Cho số thực 0  k . Tìm tọa độ các điểm M trên trục hoành sao cho véctơ

. . 4 .        u k M A k M B k M C có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số thực , , , a b x y thoả mãn điều kiện 3   ax by . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 2 2 2       F a b x y bx ay .

------------------------------Hết------------------------------

(Học sinh không sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:……………………………… Giám thị số 1:……………………

Số báo danh:………………………….………… Giám thị số 2:…………………...

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 Câu Sơ lược đáp án Điểm 1.1 (1đ) 2 2 2 1 2 0 1/ 2 1/ 2 2 2 2 / 3 3 5 (1 2 ) 3 4 4 0

x x x BPT x x x x x x x

                         

4x0,25

TH1: Với m = 1 thì BPT có dạng 2 4 0 2 x x      1 m   không thỏa mãn ycbt 0,25 1.2 (1đ) TH2: Với 1 m  thì ycbt / 2 2 2 1 0 1 2 2( 1) 0 2 0

m m m m m m

                  

3x0,25

ĐK: 1 3 x  PT   5 0( ) 3 3 1 3 5 3 1 (*) 3 1 1 5 4 2 3 1 1 5 4 2

x TM x x x x x x x x x

  



          

0,5 2.1 (1đ)  Xét PT (*): Nếu x  1: VT(*)  2  VP(*) nên x  1 là một nghiệm của (*) Nếu x > 1 thì VT(*)  2  VP(*); Nếu x  1 thì VT(*) > 2 > VP(*) Vậy (1) có 2 nghiệm x  0; x  1

0,5

Đặt 2 ; a x y b xy    .

Hệ trở thành:

3 2

2 2 1 2 0 0 1 2 1 0 3 1 1

a ab b a a a a a a b b b a b b a

                                   

0,5

2.2 (1đ)

Với 0 1 a b

   

ta có hệ

2 0 1 1 x y x y xy

        

.

Với 1

0 a b

   

ta có hệ

2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0

x y x y xy

        

.

Với 2

3

a

b

   

ta có hệ

2

3

3 / 1 2

3 3 2 3 0

y x x x y

y xy x x

                   

.

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm   ( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) x y     .

0,5

3.1 (1đ) 2sin .cos 2sin .cos 2sin .cos 2cos .cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B C A B C A B C A B VT VP                    

4x0,25

3.2 (1đ)

4 4 2 2 4sin .cos (cos sin ) 2sin 2 (cos sin ) 2sin 2 .cos2 sin 4 VT x x x x x x x x x x VP        4x0,25

Đường cao AH có VTPT là: ( 4;3) BC  

0,5 4.1 (1đ)  PTTQ của đường cao AH là: 4( 3) 3( 2) 0 4 3 6 0 x x x y          2x0,25 Đường thẳng BC: 3 4 7 0 x y    Đường tròn (E) có bán kính: ( , ) 2 R d A BC   2x0,25 4.2 (1đ) Đường tròn (E): 2 2 ( 3) ( 2) 4 x y     0,5

Gọi G là trọng tâm ABC và I là trung điểm của GC. Ta có: 1 (3; ) 3 G và 2 (2; ) 3 I 0,5 4.3 (1đ) 3 . 3 . 6 . 6 . (2;0)           u k M G k M C k M I k M I M 0,5

Ta có:   2 2 2 2

4 3 2 2 b a a y b x F                  

Xét   y ;x M  ,          2 2

a ; b A ,  3    by ax : .

Ta có  

2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 b a MA x y F MA a b                    

.

0,25

Mà    M nên     2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ; 3 4 MA d A F a b a b a b               …