Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10- THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (2,0 điểm)

a. Tìm tập xác định của hàm số

2 1 2016 2017 3 y x x x    

.

b. Chứng minh rằng hàm số 1

2 y

x 



nghịch biến trên tập xác định.

Câu 2 (1,5 điểm). Giải phương trình 3 1 2 2 7 2 x x x    .

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tham số m để hàm số 2

2

1 2 3 1 y x mx m x      có tập xác định là

một đoạn có độ dài bằng 4.

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 3 6 16 7 11

( 2) 4 ( 9) 2 9 9 1

y x x y y x

y x x y x x y

                

.

Câu 5 (3,0 điểm)

a. Cho tam giác ABC với các cạnh tương ứng là , , BC a CA b AB c    . Chứng minh rằng

nếu sin 2sin sin 2cos cos B C A B C    thì tam giác ABC vuông.

b. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm . O Gọi I là trung điểm của AC và M là

điểm thỏa mãn 2 2 OM OA OB OC       

. Biết rằng OM vuông góc với BI và 2 3 . AC BC BA  .

Tính góc  ABC .

c. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc  ACB tù. Hai điểm

(4;1), (2; 1) D E  lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và B của tam giác ABC . Trung điểm của

cạnh AB là điểm (1;2) N , trung điểm của cạnh AC là điểm M nằm trên đường thẳng có phương

trình 2 6 5 0 x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , ABC biết điểm M có hoành độ lớn hơn 3.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm , , a b c thỏa mãn 0, 0, 0 a b a c b c   . Chứng

minh rằng 9 6. a b c ab bc ca b c c a a b a b c          

------HẾT------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..……….….……..; Số báo danh:……………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 04 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Câu 5c nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm

1

a. (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: 2

2017 0 3 0 x

x x

     

0,25

2017

3 0

x

x x

       

0,5

Vậy tập xác định của hàm số là ( ;0) (3;2017) (2017; ) D    . 0,25 b. (1,0 điểm) Tập xác định của hàm số ( 2; ). D  0,25 Với mọi giá trị 1 2 1 2 , ( 2; ), x x x x   ta có

1 2 2 1

2 1 1 2

2 2 1 1 ( ) ( )

2 2 2 2

x x f x f x

x x x x

         

0,25

 

1 2 2 1

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

2 2 ( ) ( ) 1 1 0 2 2 2 2 2 2

x x f x f x x x x x x x x x x x

                             

0,25

Vậy hàm số nghịch biến trên ( 2; ). D  0,25

2

(1,5 điểm) ĐKXĐ: 2. x  Khi đó phương trình trở thành

3 1 2 2 2 7 x x x   

0,25

3 5 4 3 1 3 5 2 ( 2)(2 7) x x x x x      

2 3 1 ( 2)(2 7) x x x    

0,5

2 2 4(3 1) 2 3 14 2 9 18 0 x x x x x         

3 2 6

x

x

   

.

0,5

Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm là 6 x  . 0,25

3

(1,0 điểm) Điều kiện xác định: 2 2 3 0 x mx m     (*) 0,25 Hàm số đã cho có tập xác định là một đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi bpt (*) có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4. Vì bpt (*) có hệ số 1 0 a  nên tập nghiệm của (*) là một đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi phương trình 2 2 3 0 x mx m     có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x và 1 2 4. x x  

0,25

ThuVienDeThi.com