Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 (Chuyên) - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 - THPT CHUYÊN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình    3 3 2 3 3 4 4 1 2 1 1 4 x x x x x          x .

Câu 2 (2,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1 a b c   .

Chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2

3 . 1 3 a b c b c c a a b       

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên tố   ,p q thỏa mãn phương trình

2 ( 1) (2 3). p p p q q    

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân có AB AC  và đường tròn nội tiếp là (I). Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại

1 1 1 , , A B C . Các đường thẳng qua I song song với BC, CA, AB lần lượt cắt 1 1 1 1 1 1 , , BC C A A B tại

2 2 2 , , A B C . Gọi M là trung điểm của BC.

a. Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác 1 1 1 A BC .

b. Chứng minh rằng 2 2 2 , , A B C thẳng hàng.

c. Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC tại D, đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt đường thẳng nối trung điểm AB, AC tại N. Chứng minh rằng đường thẳng qua N và vuông góc với IM đi qua trung điểm của đoạn ID.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho số nguyên dương 1 n  và 3n đường thẳng được vẽ trong mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào trong chúng song song và không có ba đường thẳng nào trong chúng đồng quy. Trong 3n đường thẳng đã cho, ta tô màu đỏ 2n đường thẳng và tô màu xanh n đường thẳng còn lại. Chứng minh rằng có ít nhất n miền sao cho tất cả các biên của nó đều có màu đỏ.

------------Hết------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh:……………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10- THPT CHUYÊN

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

II. ĐÁP ÁN:

Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) TH1. Nếu 3 2 1 1 0 0 x x     thử lại phương trình ta thấy không thỏa mãn. 0,25

TH2. Nếu 3 2 1 1 0 0 x x      , khi đó phương trình đã cho trở thành

      3 3 2 3 3 3 3 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 2 1 1 x x x x x x x           

0,5

     3 3 3 2 1 1 4 2 1 1 x x x x        0,25

  3 3

3 3

3 2 2 1 1

1 2 2 1

x x

x x

 

 

  



Đặt 3 3 2 1 1 2 y x y x    , kết hợp với phương trình trên ta được hệ phương trình

3

3

1 2

1 2

x y

y x

 





0,5

  3 3

3

1 2

1 2

x y y x

y x

    



 



   2 2

3

2 0

1 2

x y x xy y

y x

   



   



 

2 2

3

3 2 0 2 4

1 2

y y x y x

y x

                    

   



3

1

1 2 1 5 2

x y x y x

x x

x

             

  





Do đó hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là:

  1 5 1 5 1 5 1 5 1;1 , ; , ; 2 2 2 2 S

                         

  

0,5

(Đáp án có 04 trang)

ThuVienDeThi.com