Đề thi chọn hsg lớp 10 THPT năm học 2014 - 2015 đề thi môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm).

Tìm tập xác định của hàm số: .  2 2 2014 2015

2 3 2       f x

x x x x Câu 2 (1,0 điểm).

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng .  1 x f x x     1; 

b) Chứng minh rằng hàm số là một hàm số lẻ.  2015 2015     f x x x

Câu 3 (1,0 điểm).

Giải phương trình: . 2 19 3 4 6 6 2 12 3          x x x x x Câu 4 (1,0 điểm).

Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 2 3 1 0

3 0

x y xy y

x y y

           Câu 5 (1,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của sao cho bất phương trình vô m     2 1 2 2 2 2 0       m x m x m

nghiệm (x là ẩn, m là tham số). Câu 6 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng. Câu 7 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh . Chứng minh rằng , ,    BC a CA b AB c

nếu tam giác ABC thỏa mãn và thì tam giác ABC đều. 2 2 2 2   a b c tan tan 2tan   A C B Câu 8 (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp Oxy

đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường   2;2 H

kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết và     5;3 , 1;3 M N

đường thẳng BC đi qua điểm .   4;2 P

Câu 9 (1,0 điểm).

Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: , , a b c 2015    a b c

.

2 2 2 2015 2015 2015 2015 2015 2015 6 2 2                    

a a b b c c a b c bc ca ab a b c

-------------Hết-------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN:

Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm)

Hàm số xác định khi và chỉ khi  f x

2

2

2 3 0

2 0

x x

x x

       

1,0

1 3

2 0

x

x x

       

    

0,5

. Vậy tập xác định của hàm số là 2 3 1 0 x

x        f x    1;0 2;3 S   0,5

2 (1,0 điểm) a.(0,5 điểm)

Với mọi ta có:   1 2 1 2 , 1; , x x x x  

 

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 x x f x f x x x K x x x x

       

0,25

            

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                

(Do ).   1 2 , 1; x x 

Do đó đồng biến trên .  0 K f x     1; 

0,25

b.(0,5 điểm)

Tập xác định của hàm số là . Với mọi , ta có ,   2015;2015 D  x D  x D  0,25

suy ra      2015 2015 2015 2015 f x x x x x f x            f x

là hàm số lẻ.

0,25

3 (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: .

2 6 0

2 0 3 2

3 0

x x

x x

x

            Bất phương trình đã cho tương đương với:

     19 3 4 2 3 6 2 2 3 x x x x x        

0,25

(Đáp án có 05 trang)

ThuVienDeThi.com