Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối lớp 10 năm học 2015 - 2016

Sở gd & Đt hải phòng đề thi học sinh giỏi môn TOáN KhốI 10 Trường THPT hải an Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’

Bài 1(2 điểm)

1. Tìm a và b để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1

2. Tìm tập xác định của hàm số y =

2 1

2 1 2 3 1 x x x   

Bài 2(3 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2. Tìm các giá trị của m để bất phương trình

2

2 ( 1) (2 3) 3 4 1 ( 1) 2 3 m x m x m m x mx m          nghiệm đúng với R. x  3. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 (2 3) 2 3 14 0 x x m       nghiệm thuộc [- 4;-3].

Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0).

1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của O trên đường thẳng AB.

2. Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một

tam giác có diện tích bằng 2 (đvdt).

3. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn

OB sao cho tứ giác MNEF là một hình vuông.

Bài 4(1 điểm): Trong mặt phẳng cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là  bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần

lượt qua các đỉnh A, B, C của ABC. CMR:  2 2 2 3 8 a b c a b c R h h h 

Bài 5(1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 1 1 2 2      x x x x

------------------------------Hết------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Số báo danh:................................................... Giám thị số 1:................................................... Họ và tên HS:................................................... Giám thị số 2:...................................................

2 3 y ax bx   

2 2

2 2

3

2 3 2

x y x y y x x y

         

ThuVienDeThi.com

Câu ý Sơ lược đáp án Điểm

1

+)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - 3 nên không thoả mãn bài toán--------------->

+)TH2 a 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1 -----------> 

0

1 2 (1) 4

a

b

a y

      

 

Giải hệ ta tìm được a = 1 và b = - 2 => -------------------------------> 2 2 3 y x x   

0,25®

I

2 +)Hàm số xác định -->

1 2 0

1 4 0 4 (1) 2 1 0

1 2 1 4 (2) 1 2 4 1 0

x x x x

x x x x x x

  

                            

---->

2

1 2 1 0

2 2 1 0 (2) (1 2 )(1 ) 2 1 ... 1 0 (1 2 )(1 ) (2 1) 2

x x x x x x

x x x x

                             +)Kết hợp với điều kiện (1) ta được tập xá định của hàm số là: D = [- 4;0) ------------>

1

+)Ta thấy: x = y = 0 thoả mãn hệ đã cho Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) hoặc (0; a) với a 0---------------------> 

+)Với thì HPT đã cho 0

0 x

y

    

2 2

2 2 2 2 2 2 ( ) 5 (1)

2 ( ) 5 ( 4 ) (2)

x x y y

x x y y x y

        

Ta có: (2) <=> Từ đây ta tìm được ------------>

2 2 2 1 5 1 4 x y y x

                              

2

4 x y      

+)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu => <=> x = 2y

2

4 2 x x y y         Thế x = 2y vào (1), ta được: y = / 2 2 

KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) hoặc ( ; ) hoặc (- ;- ) --------------> 2 2 2 2 2 2

2

+)Ta có: ------------------------>

2 2

2 2 ( 1) (2 3) 3 4 2 3 4 1 0 ( 1) 2 3 ( 1) 2 3 m x m x m x x m x mx m m x mx m                 +)Ta thấy: với R 2 2 3 4 0 x x     x  =>BPT đã cho nghiệm đúng với R <=> với R----> x  2 ( 1) 2 3 0 m x mx m     x 

---------------------------------------> 2 2 1 0 1 3 2 3 ( 1) 0 2 3 0

m m m m m m m m

                 

II

3

+)Đặt t = khi đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*) 2 3 x  Ta có: 0 1 3 5 x t    =>PT đã cho có nghiệm x [0;1] <=>PT (*) có nghiệm t [3;5]---------------------->   +)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5] Ta được các giá tri của m thoả mãn bài toán là -2 m 16 ----------------------------->  

1

+)Gọi H là hình chiếu của A trên OB. Ta thấy: 2 điểm E, F cùng thuộc trục Ox =>MN// Ox và MF// NE// AH

=> 1 1 1 MF OM OA AM AM MN MF AH OA OA OA OB …