Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối 10 năm học 2015 - 2016

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 TRƯỜNG THPT HẢI AN Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1(2 điểm)

1. Tìm a và b để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1

2. Tìm tập xác định của hàm số y = 1

1 2 4 1 x x x     

Bài 2(3 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 ( ) 5

( 4 ) 2

x x y y

y x y x

      

2. Tìm các giá trị của m để bất phương trình

2

2 ( 1) (2 3) 3 4 1 ( 1) 2 3 m x m x m m x mx m         

nghiệm đúng với x R. 3. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 (2 3) 2 3 14 0 x x m       có nghiệm thuộc [0;1].

Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0).

1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và tạo với đường thẳng

(d): x - 3y + 2 = 0 một góc 450

2. Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một

tam giác có diện tích bằng 2 (đvdt).

3. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn

OB sao cho tứ giác MNEF là một hình vuông.

Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần

lượt qua các đỉnh A, B, C của ABC. CMR: 2 2 2 3 8 a b c a b c R h h h 

Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 1 1 2 2      x x x x

------------------------------Hết------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Số báo danh:................................................... Giám thị số 1:................................................... Họ và tên HS:................................................... Giám thị số 2:...................................................

2 3 y ax bx   

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 Bài ý Sơ lược đáp án Điểm

1

+)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - 3 nên không thoả mãn bài toán--------------->

+)TH2 a 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1

0

1 2 (1) 4

a

b

a y

      

 

----------->

Giải hệ ta tìm được a = 1 và b = - 2 =>

2 2 3 y x x    ------------------------------- >

0,25đ

1

2 +)Hàm số xác định

1 2 0

1 4 0 4 (1) 2 1 0

1 2 1 4 (2) 1 2 4 1 0

x x x x

x x x x x x

  

                            

-->

2

1 2 1 0

2 2 1 0 (2) (1 2 )(1 ) 2 1 ... 1 0 (1 2 )(1 ) (2 1) 2

x x x x x x

x x x x

                            

---->

+)Kết hợp với điều kiện (1) ta được tập xá định của hàm số là: D = [- 4;0) ------------>

1

+)Ta thấy: x = y = 0 thoả mãn hệ đã cho Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) hoặc (0; a) với a 0--------------------->

+)Với 0

0 x

y

    

thì HPT đã cho

2 2

2 2 2 2 2 2 ( ) 5 (1)

2 ( ) 5 ( 4 ) (2)

x x y y

x x y y x y

        

Ta có: (2) <=>

2 2 2 1 5 1 4 x y y x

                              

Từ đây ta tìm được

2

4 x y      

------------>

+)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu =>

2

4 2 x x y y        

<=> x = 2y

Thế x = 2y vào (1), ta được: y = 2  / 2

KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) hoặc ( 2 ; 2 2 ) hoặc (- 2 ;- 2 2 ) -------------->

2

+)Ta có:

2 2

2 2 ( 1) (2 3) 3 4 2 3 4 1 0 ( 1) 2 3 ( 1) 2 3 m x m x m x x m x mx m m x mx m                 ------------------------>

+)Ta thấy: 2 2 3 4 0 x x     với x R =>BPT đã cho nghiệm đúng với x R <=> 2 ( 1) 2 3 0 m x mx m     với x R---- >

2 2 1 0 1 3 2 3 ( 1) 0 2 3 0

m m m m m m m m

                 

KL: BPT đã cho nghiệm đúng với x R 3 2 m   ------------------------------------->

2

3

+)Đặt t = 2 3 x  khi đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*) Ta có: 0 1 3 5 x t    =>PT đã cho có nghiệm x[0;1] <=>PT (*) có nghiệm t[3;5]----------------------> +)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5] Ta được các giá tri của m thoả mãn bài toán là -2m16 ----------------------------->

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 …