Đề thi học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán 10

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm) Cho , sao cho x, y Z; x 1;y 1   

3 3 y 1 x 1 Z y 1 x 1      

Chứng minh rằng:

2016 x 1 Z y 1  

Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số có đồ thị (Pm) . Tìm m để (Pm) cắt trục hoành tại 2 (2 1) 1      y x m x m

hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa: . 1 2 x ;x 1 2

2 1

2 1 1     x x x x Câu 3:

1/Giải bất phương trình: 2 1 1 2( 1)

    

x x

x x

2/ Giải hệ PT:

2 3 2 2

2 2 3 4 3 0

3 3 1

          

xy x y yx y x

x y y xy Câu 4:

1/ Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng b

c

m c b m  2cot A cot C cot B  

2/ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Hai điểm M(4;-1), N(0;-5) lần lượt thuộc AB, AC và phương trình đường phân giác trong góc A là : , 3 5 0    x y

trọng tâm của tam giác là . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2 5 ; 3 3         G

Câu 5:

Cho các số dương , , : 3. a b c ab bc ca   

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) a b c b c a c a b abc         

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI HSG LỚP 10 - Điểm toàn bài không làm tròn. - Học sinh làm cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.

Câu Nội dung Điểm 1

Đặt:

3 3 y 1 x 1 a c ; (a,b,c,d Z, (a,b)=1; (a;c)=1 y 1 b x 1 d       

Ta có: a c ad bc Z b d bd

   

Nên: ad bc bd ad bc b ad b d b (1)         

Mặt khác: 2 2 a c . (x x 1)(y y 1) Z ac bd a d (2) b d          

Từ (1) và (2) suy ra:

3 x 1 a b m Z y 1      

Mà nên 2016 3 672 3 x 1 (x ) 1 x 1     2016 x 1 y 1   

Vậy : đpcm

2016 x 1 Z y 1  

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Pm) với Ox : 2 (2 1) 1 0     x m x m

Để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ khi 1 2 x ;x 0 

2 4m 8m 5 0, m     

Theo giả thuyết : 1 2

2 1

2 1 1     x x x x

2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) 2 . 2 1          x x x x x x x x x x Hay:

Câu 4: 1

1. Theo bài ra: 2

2

2

2

c

b

c

b

m m b c m m b c   

áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có :

và Nên: 2 2

2 2 2 2 b m c a b    2 2

2 2 2 2 c m b a c   

2

2

2 2 2

2 2 2

2

2

c b a

b c a

b c

 

  

ThuVienDeThi.com

   0 2 1 2 1 2 1 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2            b c b c a b c b b a c c b c a

     

A bc a A bc a a c b a

b c a b c a b c

cos 2 cos 2 2 2

0 2 1 0 2 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

       

              

      

2 2 2R sin A 2 2R sin B . 2R sin C cos A sin A 2sin Bsin Ccos A

sin B C cos A sin A sin Bcos C sin Ccos B cot A sin A 2sin Bsin C 2sin Bsin C 2sin Bsin C 1 cos C cos B 2cot A cot C cot B 2 sin C sin B

   

      

          

Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cú: . 2 3 3 3 ( ) 1 ab bc ca abc abc      

Suy ra: 2

2 2 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 ( ) 3 ) 3 (1).              a b c abc a b c a ab b a b c a c ca a

Tương tự ta cú: 2 2 1 1 1 1 (2), (3). 1 ( ) 3 1 ( ) 3 b c a b c a b c       Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cú:

. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 ab bc ca a b c b c a c a b c b c abc abc                Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0). abc ab bc ca a b c a b c         

ThuVienDeThi.com