Đề thi chọn học sinh giỏi bậc THPT trai he Hung Vương lần thứ XII năm 2015 môn Toán lớp 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT

VĨNH PHÚC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2015 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: Toán- Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4 điểm) .

Giải hệ phương trình:

2 2 12

25 25 26

x y xy

x y

   

    

Câu 2. (4 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : , , a b c 3 a b c             2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 24 1 1 1 a b b c c a c a b            

Câu 3. (4 điểm) Cho số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số có ít nhất hai ước n 5 1 n n   số nguyên tố phân biệt.

Câu 4. (4 điểm) Cho ABC là tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Đường thẳng PO, NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E; đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:

a. Hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau. b. Các điểm N, O, F, P thuộc một đường tròn.

Câu 5. (4 điểm) Cho tập S là tập hợp tất cả các bộ số, mỗi bộ gồm 2016 × 2016 số thực bất kỳ thuộc đoạn và có tổng bằng 0. Xét một bảng ô vuông kích thước 2016 × 2016. Tìm số   1 ;1 

dương k nhỏ nhất sao cho nếu điền bất kỳ một bộ số thuộc tập S vào bảng, mỗi ô một số thì tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột có giá trị tuyệt đối của tổng các số trên hàng đó hoặc trên cột đó không vượt quá k.

----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ …………………………………………………………………………………………

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT

VĨNH PHÚC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2015 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: Toán- Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm

1.

Giải hệ phương trình:   2 2 12 1

25 25 26 2

x y xy

x y

   

     4

Điều kiện (*) 0 xy 

Khi hệ pt có nghiệm từ pt kết hợp (*) suy ra   ;x y  1 12 0 x y xy      0; 0 x y   1

Từ pt    

2 2 2 2 1 12 24 144 x y xy x y xy xy         

  

2 2 2 288 12 288 3 x y xy       1

Từ pt áp dụng bđt Cauchy- Schwarz ta được  2

   2 2 2 2 2 2 26 25 25 2 50 288 4 x y x y x y           1

Từ 

2 2

2 2 3 & 4 288 12 12

, 0

x y

x y xy x y

x y

               Thử lại tm hệ pt, vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm    ; 12;12 x y     ; 12;12 x y 

1

2 Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : , , a b c 3 a b c             2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 24 1 1 1 a b b c c a c a b            

4

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

             2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 1 a b ab a b ab a b a b b a                     

1

Ycbt (*)            2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

6 1 1 1

a b b a b c c b c a a c

c a b

                1

Sử dụng bđt AM-GM một lần nữa, ta có

      2 2 2 2 * * 2 2 2 2 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 cyc cyc cyc cyc

a b b a b c VT a a VP c c c b

                         

1

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1 a b c    1

3 Cho số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số : có ít nhất hai n 5 1 n n   ước số nguyên tố phân biệt. 4

ThuVienDeThi.com