Đề thi chọn HSG lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 môn Toán dành cho học sinh THPT không chuyên

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu I (4 điểm)

1. Cho hệ phương trình (trong đó là tham số; và là ẩn) 2 2 2 2

2 2 4

x y m

x y x y m

          

m x y

a) Tìm để hệ phương trình trên có nghiệm. m b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .   2 2011 A xy x y     2. Tìm tất cả các giá trị để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn m 3    4 2 3 1 6 2 0 x m x m      Câu II (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2

1

3 3 4

x y xy

x y

   

     Câu III (1 điểm)

Chứng minh rằng nếu là các số thực dương thì ,x y     2 2 1 1 1 1 1 1 xy x y     Câu IV (3,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm và . Tìm tọa độ   1;2 A   4;3 B điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng . 0 45 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết

rằng .     6 17 2;1 , 3;4 , ; 5 5 D E F       3. Cho tam giác ABC, có . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội , , a BC b CA c AB    tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng

     

2 2 2

2 IA IB IC c p a a p b b p c      

-------------Hết-------------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH VĨNH PHÚC

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)

Đáp án gồm 3 trang

Câu Nội dung Điểm 1.a (2 điểm) Đặt . Khi đó hệ phương trình trở thành ; S x y P xy   

2 2 2 2 2

2 2 4 2

S m S m

S P S m P m m

                 

1,0

Để hệ có nghiệm thì     2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 S P m m m m m           1,0

1.b (1 điểm)

Ta có 2 2 2011 2005 A P S m m      

0,5 Lập bảng biến thiên ta được khi ; khi max 2011 A  2 m  min 2004,75 A  0,5 m 

2011

2004,75

2007

2 -

1

2 -2

A

m

0,5

2. (1 điểm) Đặt , thay vào phương trình ta được 2 0 t x     2 3 1 6 2 0 t m t m     

phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi 2 3 1 t t m     

0,25

. Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là 1 3 1 0

3 3 1 2 1

m m m m

             2; 3 1 m   

0,5

I 4 điểm

Để các nghiệm đều lớn hơn thì . Vậy 3  10 3 1 3 3 1 3 3 m m m       

các giá trị của là m  1 10 ; \ 1 3 3 m      

0,25

II (1,5 điểm)

ĐK , ta thấy từ pt thứ nhất , do đó . Từ đó ta đặt 0 xy  0 x y    0, 0 x y   thay vào hệ ta được 0, 0 u x v y    

ThuVienDeThi.com

 

2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4

1 1 3

3 3 4 6 2 3 3 9 16

u v uv u v uv

u v u v u v u v

                            

   

2

2 2 2 2 2 2 4 4 2 2

1 3

2 2 2 3 2 6 9 10

u v uv

u v uv u v u v u v uv u v

                      

0,5

Đặt (vì ). Thế từ phương trình thứ 0 1 t uv t      

2 1 3 4 1 uv u v uv uv       nhất của hệ trên vào phương trình thứ hai ta được

  

2 4 2 2 4 2 2

2 4 3 6 12 2 9 2 3 6 12 2 9

2 9 0

t t t t t t t t t t

t t

              

    

.    4 3 2 3 2 3 4 34 60 33 0 1 3 7 27 33 0 t t t t t t t t            

0,5

+) Nếu ta có 1 1 t uv    2 1 1 1 1 1 u v u x uv v y                   +) Nếu vô lí vì   3 2 3 2 3 7 27 33 0 3 7 6 27 1 0 t t t t t t           0 1 t   Kết luận nghiệm của hệ là   ; 1;1 x y 

0,5

Do nên bất đẳng thức đã cho tương đương với , 0 x y 

       2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y xy x y           

0,25

     2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 x y x y xy x x y y            0,25

III …