Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012 môn Toán (dành cho học sinh THPT không chuyên)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————— ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

———————————— Câu 1 (4,0 điểm).

1. Giải phương trình: . 2 2 1 1 2 x x x x        xA

2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai x m    

2 2 3 2 1 1 0 x m x m m      

nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 , x x 1 2 4 x x  

thức sau: .   3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8 P x x x x x x     

Câu 2 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình: .

2 3 2

4 2

1 ( , ) (2 1) 1

x x y xy xy y x y x y xy x

             

A

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị ,x y    2 2 1 1 2012 x x y y     

nhỏ nhất của . P x y  

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam

giác MNP. Chứng minh rằng và ba điểm O, H, L thẳng hàng. OA OB OC OH       

2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho

. Chứng minh đẳng thức sau: A A A A MAB MBC MCD MDA     

,

2 2 2 2 cot 2 . .sin AB BC CD DA AC BD      

trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.  3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm

(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm   7 5 13 5 1; 5 , ; , ; 2 2 2 2 M N P              

tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm và điểm A có hoành độ   1; 1 Q 

dương.

—Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm

Ta có nên phương trình xác định

2 2 2 2 1 3 1 3 1 , 1 2 4 2 4 x x x x x x                     với mọi . Phương trình đã cho tương đương với xA

   2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 x x x x x x x x         

0,5

2 4 2 4 2 2 2 2 2 1 4 1 1 x x x x x x           0,5

 

2

2 4 2 2 4 4 2 2 1 0 1 1

1 1 2 1 1

x x

x x x x x x x

                 

0,5

. Vậy pt có nghiệm duy nhất 1 1 0 0

x x x        

0. x  0,5

2 2,0 điểm Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 1 2 , x x 1 2 4 x x      

2

1 2

2 4 0 ' 0 2 0 2 0 4 2 3 2 1 4 3

m m m m m x x m m m

                                   

0,5

Theo định lí Viet ta có suy ra    

2 3 1 2 1 2 2 1 , 1 x x m x x m m             3 3 2 3 2 1 2 1 2 8 8 1 8 8 1 16 40 P x x x x m m m m m          

0,5

Bảng biến thiên

-24

16

-144

0

3 2 0 -2

P

m

0,5

1

Từ bảng biến thiên ta được: khi , khi . max 16 P  2 m  min 144 P  2 m  0,5 1,5 điểm

Ta có  

2 2 2 3 2

2 4 2 2 ( ) ( ) 1 1

(2 1) 1 1

x y xy x y xy x x y xy xy y

x y xy x x y xy

                         

0,25

2

Đặt . Hệ trở thành: (*)

2 a x y b xy

   

2

1

1

a ab b

a b

       

0,25

ThuVienDeThi.com