Đề thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương lần thứ XI môn thi Toán lớp 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG.

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI

MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10

(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình

                         

2

2 2

3 (2 1) 2 1

2 6 1 2 4 1 3 4.

y y x y x y x

y y x y y

Câu 2 (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK. Trong tam giác

ACK, kẻ đường phân giác AE. Gọi M là trung điểm AC. Gọi N là giao điểm của đường

thẳng ME với AK. Chứng minh rằng BN và AE song song với nhau.

Câu 3 (4 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng

. 4 4 4 1 1 1 25 a b c b c c a a b                   

Câu 4 (4 điểm). Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015 người, cứ bốn người

bất kì có thể chọn ra được ít nhất một người quen với ba người còn lại. Hỏi có thể có

bao nhiêu người trong đội quen với tất cả?

Câu 5 (4 điểm). Cho đa thức Chứng minh rằng với mọi số 2 2 2 ( ) ( 2)( 3)( 36). P x x x x    

nguyên tố p đều tìm được số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p.

......................................Hết......................................

ThuVienDeThi.com

1

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10. Câu Nội dung chính cần đạt Điểm Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình

                         

2

2 2

3 (2 1) 2 1

2 6 1 2 4 1 3 4.

y y x y x y x

y y x y y

4.0đ

1

ĐKXĐ: 2 0;2

1 . 4 1 0 y y

x

y   

   

 

 

     

            

  

2

2 2

2

3 (2 1) 2 1

1 1 0

1 .

y y x y x y x

y x y x

y x Thay vào pt thứ hai ta được

       

5 1 2 3 3 4

5 1 2 3 3 5 1 5 1

5 1 2 3 3

2 3 5 1 3 0

1 1 ( 8) 0 5 1 1 3 8.

2 2 1

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x

x

x x x x

y

     

            

      

      

               

   Thoả mãn điều kiện.Vậy hệ có nghiệm là .   ; (8,2 2 1) x y  

1.5

2

0.5

Câu 2 (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK.

Trong tam giác ACK, kẻ đường phân giác AE. Gọi M là trung điểm

AC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng ME với AK.Chứng minh

rằng BN và AE song song với nhau.

4.0đ

(Kí hiệu AEB là góc AEB).

Ta có AEB=ACE+CAE, BAE=BAK+KAE, ACB=ABE, CAE=KAE.

Do đó AEB=BAE hay tam giác ABE cân tại B.

1đ 2

Kẻ đường cao EP của tam giác ABE. Ta được EP=AK và EP//AC.

Kết hợp với định lý Talet ta có . AK EP BP BK AC AC BA BE    1đ

ThuVienDeThi.com

2

Theo tính chất đường phân giác ta lại có . AK EK AC EC 

Do đó (1). BK EK BE EC 

Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ACK với ba điểm đường

thẳng cắt AC tại M, CK tại E và AK tại N, ta có

. . 1 (2) MC NA EK EK NK MA NK EC EC NA  

1đ

Từ (1) và (2) suy ra

(Theo định lý Talet đảo). / / . NK BK BN AE NA BE   1đ

Câu 3 (4 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng

. (1) 4 4 4 1 1 1 25 a b c b c c a a b                   

4.0đ

Không giảm tổng quát, giả sử c là số lớn nhất trong ba số a, b, c.

Đặt S = a+ b+ c, R= ab + bc+ ca, P= abc. 0.5

3 2

3 2

3

3

(1) ( 3 )( 3 )( 3 ) 25( )( )( )

3 ( ) 9 ( ) 27

25[ ( ) ( ) ]

4 9 27 25( )

4 13 0.(2)

S a S b S c S a S b S c

S S a b c S ab bc ca abc

S SR P SR P

S SR P

       

       

       

    

   

1.5đ

Ta chứng minh (2) đúng. Thật vậy,

3

2

2

2

2

(2) ( ) 4( )( ) 13

=( )[( ) -4( )] 13

= ( )[( ) -4 ] 13

=( )( ) -4 ( ) 13

( )( ) (9 4 4

VT a b c a b c ab bc ca

a b c a b c ab bc ca abc

a b c a b c ab abc

a b c a b c ab a b c abc

a b c a b c ab c a

        

      

    

      

        ) 0

(do 9 4 4 0).

b

c a b c



   

1.5đ

3

Vậy ta có điều phải chứng minh. 0,5đ

4 Câu 4 (4 điểm). Trong một đội thanh niên tình nguyện gồm 2015 4.0đ

ThuVienDeThi.com