Bài giảng Tích phân

Sở GD & Đt nghệ an Tr−ờng THPT Đặng thúc hứa

∫ 6 6 sin4x + cos2x dx sin x + cos x

tích phân

( ) ( ) ∫ ∫

6 6

8 8 x +1 - x -1 dx 1 = = dx x +1 2 x +1 I = ...

Giáo viên : Phạm Kim Chung Tổ : Toán

Năm học : 2007 - 2008

ThuVienDeThi.com

∫

12

2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa

_____________________________ Tháng 12 – năm 2007 __________________________________ (Trang 1

“ Thực ra trên mặt đất làm gì có đ−ờng, ng−ời ta đi lắm thì thành đ−ờng thôi ! ” - Lỗ TÊn -

Viết một cuốn tài liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn của một nhà viết sách, cũng không hy vọng ë một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán là có hạn .. Khi tôi có ý t−ởng viết ra những điều tôi gom nhặt đ−ợc tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn.. Và nếu còn ai đọc bài viết này nghĩa là đâu đó tôi đang có những ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học .

Thử giải một bài toán khó…... nh−ng ch−a thật hài lòng !

( ) ( )

( ) ( ) ∫ ∫

6 6

2 2 8 4 2 x +1 - x - 1 dx 1 = dx = x +1 2 x +1 - 2x ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫

2 4 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 4 2 4 2

x +1 x - 2x +1 + 2 - 1 x x - 1 x - 2x +1 + 2 +1 x 1 1 dx + dx 2 2 x +1 - 2x x +1 - 2x

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2 2

4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 - 1 2 +1 x +1 x x - 1 x 1 x +1 1 x - 1 = dx + dx + dx + 2 2 2 2 x + 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫

2

2

1 1+ 1 x = dx 2 1 x - + 2+ 2 x

( ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

2

2 2

1 1+ dx 2 - 1 x + 2 1 1 x - + 2 - 2 x - + 2+ 2 x x ( ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫

2

2

1 1- 1 x + dx 2 1 x + - 2 - 2 x

( )

( ) ( )

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

2

2 2

1 1- dx 2 +1 x + 2 1 1 x + - 2+ 2 x + - 2 - 2 x x

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2

1 d x - 1 x = 2 1 x - + 2+ 2 x

( ) ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ 2 2

1 1 d x - d x - 2 - 1 2 - 1 x x + - 4 2 4 2 1 1 x - + 2 - 2 x - + 2+ 2 x x ( )

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2

1 d x + 1 x + 2 1 x + - 2 - 2 x

( )

( )

( )

( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ 2 2

1 1 d x + d x + 2 +1 2 +1 x x + - 4 2 4 2 1 1 x + - 2+ 2 x + - 2 - 2 x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 x + - 2 - 2 x + - 2+ 2 2+ 2 2 - 2 2 - 2 2+ 2 x x = u + v + ln + ln + C 1 1 8 8 16 16 x + + 2 - 2 x + + 2+ 2 x x

( Với 1 x - = 2+ 2tgu = 2 - 2tgv x )

(Nếu dùng kết quả này để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay hơn ?.. )

ThuVienDeThi.com

∫

12

2007 bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa

ª 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 2

Phần lý thuyết

n Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và đ−ợc kí hiệu là

. Ta dùng kí hiệu ( ) ∫

b

a f x dx ( )

b F x a để chỉ hiệu số : F(b) – F(a)

Công thức Newton – Laipnit : ( ) ∫

b

a f x dx = ( )

b F x a = F(b) – F(a)

Ví dụ : ( )

3 1 2 3

0

1 x 1 1 x dx 1 0 0 3 3 = = − = ∫

3 3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc và f, a và b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta

có thể viết : F(b) – F(a) = =

( ) ∫

b

a f x dx

( ) ∫

b

a f x dx ( ) ∫

b

a f t dt = ( ) ∫

b

a f u du ...

o Các tính chất của tích phân .

1. ( )

a

a f x dx = 0 ∫

2. ( ) ( )

b a

a b f x dx = - f x dx ∫ ∫

3. ( ) ( ) ( ) ( ) α ± β α ± β ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫

b b

a a f x g x dx = f x dx g x dx ∫

b

a

VD : ( ) ( )

e e e 2 2

1 1 1

e e 3 1 2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2 1 1 x x ⎛ ⎞ + = + = + = − + − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫

2

4. ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

c b c

a a b f …