Đề khảo sát học sinh giỏi môn Tiếng Anh Lớp 9 - Trường THCS Phan Châu Trinh (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS PHAN CHÂU TRINH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1. (3,0 điểm):

Cho biểu thức: a a 3 2( a 3) a 3 M

a 2 a 3 a 1 3 a          

a) Rút gọn biểu thức. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 2 (2,0 điểm):

Giải phương trình:

a) 3 3 3 x 1 x 2 x 3 0     

b) Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và c z b y a x   .

Tính giá trị của xy + yz + xz Bài 3 (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x     Bài 4 (4,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.

a. Chứng minh: 2 2 1 1 AE AF  không đổi

b. Chứng minh: · · · · · os sin .cos sin .cos c AKE EKF EFK EFK EKF   c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm a) (2,0đ) ĐKXĐ: a 0;a 9  

a a 3 2( a 3) a 3 M

( a 1)( a 3) a 1 a 3           

2 a a 3 2( a 3) ( a 3)( a 1) ( a 1)( a 3)         

a a 3 2a 12 a 18 a 4 a 3 ( a 1)( a 3)          

a a 24 3a 8 a ( a 1)( a 3)    

 

a( a 3) 8(3 a) ( a 1)( a 3)    

 

a 8 a 1  



0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ Bài 1

3,0đ

b) (1,0đ)

Ta có: a 8 a 1 9 9 M a 1 2 a 1 a 1 a 1          

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số a 1  và 9 a 1 

ta có:

9 M a 1 2 2 9 2 4 a 1       

Dấu “=” xẩy ra khi 9 a 1 a 1 3 a 4 a 1     

(TMĐK)

Vậy: Min M = 4 khi a 4 

0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Đặt : a= 3 1  x ; b= 3 2  x ; c= 3 3  x Phương trình (1) đã cho trở thành:

3 3 3 a+b+c= 0 a b c a 3ab(a b) b c       

3 3 3 a b c 3ab(a b) 3abc      

x + 1+ x +2 + x +3 = 3 3 ) 3 )( 2 )( 1 (    x x x

<=> 3(x+2) = 3 3 ) 3 )( 2 )( 1 (    x x x (x +2)3 = (x+1)(x+ 2)(x+3)

<=> (x+2) [(x +2)2- (x +1)(x +3)] =0

<=> x +2 = 0 <=> x = - 2

Vậy pt (1) có nhgiêm x = - 2.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ Bài 2

2đ

b) )1 c b a vì ( z y x c b a

z y x c z b y a x        

    

Do đó:

(x+y+z)2=

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

z y x c b a

z y x c z b y a x     

     ( vì a2 + b2 + c2 = 1)

(0,25 điểm)

 x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 (0,25 điểm)

2xy +2yz + 2xz = 0  xy + yz + xz = 0

0,25

0,25đ

0.25,đ

ThuVienDeThi.com

0,25 điểm

2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 ( ) ( 1)( 2) y xy x x xy y x x x y x x                (*)

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp

nên phải có 1 số bằng 0. 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y               

Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1) x y  hoặc ( ; ) ( 2;2) x y 

0,25

0,25 0,25đ

0,25đ

Bài 3

1,0đ

Bài 4

4,0đ

P N'

M'

Q

M

H

K

F

B A

D

C E

N

0,25đ

Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:

2 2 2 1 1 1 AK AE AD   hay 2 2 2 2 1 1 1 1 AF AE AD a    (không đổi)

0.5 0,5

HS c/m · · 1 1 . .sin . .cos 2 2 KEF S KE EF AEK KE EF AKE  

Mặt khác: 1 1 . .( ) 2 2 KEF S EH KF EH KH HF    . Suy ra:

:

· ·

· · · · ·

. . . .cos .( ) cos .

cos . . sin EF . os sin . osEF EF EF

EH KH EH HF KE EF AKE EH KH HF AKE KE EF EH KH EH HF AKE K c EKF EKF c K EK KE

    

    

0,25

0,25

0,5

Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN

Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N 

MN’ là phân giác của · ' DMM  Cách dựng điểm N:

- Dựng M’ đối xứng M qua AD

- Dựng phân giác · ' DMM cắt DM’ tại N’

- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD

Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn

0.25

0.25 0.25

ThuVienDeThi.com