Tuyển tập 300 bất đẳng thức hay từ các diễn đàn Toán học trên thế giới

Tuyển tập 300 Bất Đẳng Thức Hay

Nguyễn Việt Anh

Ngày 16 tháng 7 năm 2005

1

Từ Các Diễn Đàn Toán Học Trên Thế Giới

diendantoanhoc.net [VMF]

ThuVienDeThi.com

1. Posted by StRyKeR

Cho x, y, z là các sốkhông âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng :

xny + ynz + znx ≤ nn

(n + 1)n+1

2. Posted by manlio

Cho x1, x2, . . . , xn là các sổthực dương nhỏhơn 1. Chứng minh rằng :

(x1 + x2 + . . . + xn + 1)2 ≥4(x2 1 + x2 2 + .... + x2 n)

3. Posted by manlio

Cho x1, x2, . . . , xn là các sốthực dương. Chứng minh rằng :

1 x1 + 2 x1 + x2 + . . . + n x1 + x2 + . . . + xn ≤ 1

x1 + 1

x2 + . . . + 1

xn

4. Posted by hxtung

Tìm hằng sốk, k′ tốt nhất sao cho

k ≤ v v + w + w w + x + x x + y + y y + z + z z + v ≤k′

với mọi sốthực v, w, x, y, z

5. Posted by pcalin

Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:

r

(x + y + z) 1

x + 1

y + 1

z

≥1 +

s

1 + r

(x2 + y2 + z2) 1

x2 + 1

y2 + 1

z2

6. Posted by Mitzah

Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC

bc cos A + ca cos B + ab cos C

a sin A + b sin B + c sin C ≥2r

7. Posted by georg

Chứng minh rằng 1

2

n−1 ≤x2n + (1 −x2)n ≤1

trong đó n > 1

2

diendantoanhoc.net [VMF]

ThuVienDeThi.com

8. Posted by Maverick

Tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B sin C = 1

3. Chứng minh khi đó ta có :

p3 + Sr + abc > 4R2p

9. Posted by Lagrangia

Cho các sốthực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a + c = 2b và đặt

A = ax + by + cz

az + by + cx

B = ay + bz + cx

ax + bz + cy

C = az + by + cx

ay + bz + cx

Chứng minh rằng max A, B, C ≥1

10. Posted by vineet

Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :

(2a + b + c)2

2a2 + (b + c)2 + (a + 2b + c)2

2b2 + (c + a)2 + (a + b + 2c)2

2c2 + (a + b)2 ≤8

11. Posted by treegoner

Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:

tan A

2 + tan B

2 + tan C

2

( √

coth A coth B + √

coth B coth C + √

coth C coth A) ≤3

12. Posted by DusT

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

2R

r ≤E1

E2

trong đó

E1 = 1 sin A + 1 sin B + 1 sin C E2 = sin A + sin B + sin C

3

diendantoanhoc.net [VMF]

ThuVienDeThi.com

13. Posted by Reyes

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng s

a3

a3 + (b + c)3 +

s

b3

b3 + (c + a)3 +

s

c3

c3 + (a + b)3 ≤1

14. Posted by Maverick

Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4√

abcd. Chứng minh rằng

a + d2

b + c + a2

d + b + c2

a + d + b2

c ≥4(1 + E)

15. Posted by Alexander Khrabrov

Cho 0 ≤bk ≤1 với mọi k và

a1 ≥a2 ≥. . . an ≥an+1 = 0

Chứng minh rằng

n X

k=1 akbk ≤

h Pn i=1 bi i

+1 X

k=1 ak

16. Posted by Lagrangia

Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng

cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C

17. Posted by galois

Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức

cos A −B

2

+ cos B −C

2

+ cos C −A

2

≥sin 3A

2

+ sin 3B

2

+ sin 3C

2

18. Posted by Valentin Vornicu

Cho 3 sốa, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng

2(a + b + c) −abc ≤10

19. Posted by Michael

Cho 3 sốthực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng

a2

b2 + 1 + b2

c2 + 1 + c2

a2 + 1 ≥3

2

4

diendantoanhoc.net [VMF]

ThuVienDeThi.com