Chuyên đề Số phức - Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai

Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404

Face: Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 1

A. ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT: 1.Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + bi , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1.

Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.  Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + bi / a, b R và 2i = –1}. Ta có R  C .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a    Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi . Đặc biệt i = 0 + 1.i  Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo. 2.Số phức bằng nhau:

 Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i . Ta có z = z  '

'

a a

b b

   

 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)i = (2y + 1) + (3x – 7)i (1)

(1)  2 3 2 1 2 2

3 1 3 7 2 0

x y x y x

y x x y y

                      

3.Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành

Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.  VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:

A z = 1 + 4i , Bz = –3 + 0.i , Cz = 0 –2i , D z = 4 – i 4.Môđun của số phức:  Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng

Oxy. Độ dài của véctơ OM



được gọi là môđun của số phức z. Kí

hiệu 2 2 z = a + bi = a + b  Tính chất

 2 2 z a b zz OM    



 0, , 0 0       z z z z

 . ' . ' z z z z   ' ' z z z z   ' ' ' z z z z z z     

 VD: z = 3 – 4i có 2 2 3 4 3 ( 4) z i     = 5

 Chú ý:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 z a b abi a b a b a b z         

5.Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp của z là z a bi   .  z = a + bi z = a - bi ; z z  , z = z Tính chất

            

1 1

2 2 ; ' ' ; . ' . '; z z z z z z z z z z z z z z ;    2 2 2 .z z z a b

 z là số thực  z z  ; z là số ảo  z z 

* Chú ý

n n (z ) (z) ;i i; i i  

ThuVienDeThi.com

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai

Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404

Face: Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 2

 z là số thực  z z   z là số ảo  z z 

* Môđun số phức z = a + b.i (a; b  R) 2 2 z OM a b z.z     

Chú ý: z z  z  C

 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.

6. Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi  Cho z a bi   và ' ' ' z a b i   . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

7. Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z a bi   và ' ' ' z a b i   . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + bi ) = ka + kbi . Đặc biệt 0.z = 0 z 

 z. z = (a + bi )(a – bi ) hay

2 2 2 z.z = a + b = z  (a +bi)2 = a2 – b2 + 2abi . (1 +i)2 = 2i  (a – bi)2 = a2 – b2 -2abi . (1 – i)2 = -2i  VD: Phân tích 2z + 4 thành nhân tử. 2z + 4 = 2z – 2 (2 )i = (z – 2i )(z + 2i ).  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.

8. Phép chia số phức:

 Số nghịch đảo của số phức z a bi    0 là -1

2 1 z z = = z z

hay 2 2 1 a - bi = a + bi a + b

 Cho hai số phức z a bi    0 và ' ' ' z a b i   thì 2 ' '. z z z z z  hay 2 2 a' + b'i (a' + b'i)(a - bi) = a + bi a + b

 VD: Tìm z thoả (1 + 2i )z = 3z – i .

Ta có (3 – 1 – 2i )z = i  z = 2 2 i

i   (2 2 ) 2 2 1 1 4 4 8 4 4 i i i z z z i         

9. Lũy thừa của đơn vị …