Tóm tắt các công thức mũ - logarit - Trường THPT Hoài Ân

GV HCT - THPT Hoài Ân , Bình Định

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC MŨ-LOGARIT 1. Luỹ thừa Ví dụ minh hoạ anguyên dương thì a tuỳ ý (-2)3 = (-2).(-2).(-2) = 8

anguyên âm hoặc 0 thì a 0; ĐN: a0 = 1 và a-n = n a

1 ; a, b 0:

n n

a b b a ) ( ) (   * 0 0 ) 4 5 ( ) 3 2 (   = 1; * 4 4 ) 2 3 ( ) 3 2 (  

ahữu tỉ hoặc vô tỉ thì a >0 ĐN: n m n m

a a  với a>0, m Z, n N, n > 1

Lưu ý: 3 x  3 1 x ( vì VT: x tuỳ ý; VP: x >0) như vậy 3 x = 3 1 x  x > 0

4 3 4 3

2 2  = 4 8

* n

n

b

a = n

b a * n a . n b = n ab . * 3

3

2

16

= 3

2 16

= 3 8 =2 * 3 2 . 3 4 = 3 4.2 = 3 8 =2

*( n a )m = n m a * m n a = mn a * ( 3 2 )4 = 3 4 2 = 3 16 * 3 4 10 = 1210

* 1 2 1 2   k k a = a * k k a 2 2 = |a| * 5 5 2 = 2 * 4 4) 2 ( = |-2| = 2

* am.an = am+n * am : an = am-n * 23.24 = 27 * 23 : 24 = 2-1=1/2

(am)n = am.n lưu ý n m m a a

n ) (  . Sai lầm (2x)2 =

2 2x mà (2x)2 = 22x * (23)4 = 212 (vì 3.4=12) * 81 3 2 2

4  (vì 34=81) (ab)n = an.bn. Lưu ý : (ab)n  abn (2.3)4 = 24.34 = 16.81 = 1296

n

n n

b a b a  ) ( 81 16 3 2 ) 3 2 ( 4

4 4  

Với a > 1 thì am > an <=> m > n (Hiểu là đồng biến) Với 0 < a < 1 thì am > an <=> m < n (Hiểu là nghịch biến) * 2x > 23  x > 3 * 3) 3 2 ( ) 3 2 (  x  x < 3

2. Hàm số luỹ thừa Ví dụ minh hoạ Hàm số y =  x có TXĐ phụ thuộc vào . Cụ thể: nguyên dương thì x tuỳ ý, D=R nguyên âm hoặc 0 thì x 0, D=R\{0} hữu tỉ hoặc vô tỉ thì x > 0, D = R+ = (0;+)

y = x3 có D = R (vì = 3 nguyên dương) y = x -3 có D = R\{0} (vì = - 3 nguyên âm)

y = 3 2 x (hữu tỉ); y = 2  x ( vô tỉ) nên có D = R+ = (0;+)

* (  x )’ =  1   x * (  u )’ =  1   u .u’

* 1 4 3 4 3

4 3 )' (

  x x = 4 1

4 3  x =

4 1 4

3

x

= 4 4

3

x

* ( 3 2 1 x  )’=[ 3 1 2) 1( x  ]’= 3 2 2) 1( 3 1  x .(-2x) =

3 2 2) 1( 3

2

x

x





3. Logarit (a,b,c, b1, b2 >0, a,c 1) Ví dụ minh hoạ * logab = m am = b log28 = 3 vì 23 = 8

* loga1 = 0; * logaa = 1; * logaam = m; * b a alog = b * log21= 0; * log22 = 1; * log334 = 4; * 5 log7 7 = 5 loga(b1b2) = logab1 + logab2. log69 + log64 = log6(9.4) = log636 = 2

loga(

2

1 b

b ) = logab1 – logab2 => loga( b

1 ) = - logab log72 – log714 = log7(14

2 ) = log7( 7

1 ) = - log77 = -1

* logabm = m.logab * loga n m b = n

m logab * b a log = 

1 logab

Lưu ý : logax2k = 2k.loga|x| ; logax2k+1 = (2k+1).logax (kN*)

* log243 = 3.log24 = 6 * log3 4 53 = 4

5 log33 = 4

5

* log3x2 = 2 x2 = 9  x = 3. Hoặc làm như sau : log3x2 =2 2log3|x|=2 log3|x| =1 |x|=3 x= 3

Công thức đổi cơ số:

* logab = a b

c

c log log * logab = a b log

1 * (logca)(logab) = logcb

* Công thức lãi kép: Pn = P(1+r)n . Với P là tiền gửi ban đầu; n là số năm gửi; r là lãi suất %/năm.

* log48 = 4 log

8 log

2

2 = 2

3 * 2 log

1

4

= log24 = 2

* (log23).(log38) = log28 = 3 * Gửi A đồng với lãi suất 8.4%/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm nhận được gấp đôi? HD: A(1+0.084)n = 2A  n=log1.0842 9 năm.

* logex kí hiệu là lnx và đọc là logarit tự nhiên của x với e 2.718 * log10x kí hiệu là logx hoặc lgx và đọc là logarit thập phân của x * lne = 1; * ln1 = 0 * x 3 log = x 2 1 3 log = 2log3x

lg10=1; lg1 = 0 4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit Ví dụ minh hoạ (ex)’ = ex => (eu)’ = eu.u’ (e3x)’ = e3x.(3x)’ = 3e3x

ThuVienDeThi.com