Tuyển tập 200 bài tập bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 - Cao Văn Tú

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

1 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc

biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của

Bộ GD&ĐT. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:

1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái

Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái

Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều

được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.

Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

2 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com

Giải

Vận dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 ( ) 4 x y x y    ta có:

1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 a b b c a a b b c a a b c            

1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 b c c a b b c c a b b c a            

1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 c a a b c c a a b c c a b            

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)

Đẳng thức xảy ra khi:

3 2 3 2 3 2

a b b c a b c c a b a b c c a a b c

                

Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh:

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 a b b c c a a b c         (2)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Giải

 Áp dụng 1 1 1 1 ( ) 4 x y x y    ta có ngay điều phải chứng minh.

 Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c c a               (3)

 Kết hợp (2) và (3) ta có:

Bài 3: Với a, b, c là các số dương:

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 4 a b c b c a c a b a b c            (4)

Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b b c c a               (5)

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

3 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Giải

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 a b c    . Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 4 a b c b c a c a b a b c           

►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết: 1 1 1 4 a b c   

Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:

tan tan tan 1 2 2 2 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 4.tan .tan .tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A B C

B C C A A B A B C      

Giải

Đặt tan , tan , tan 2 2 2 A B C x y z    thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1

Hệ thức trở thành: 1 1 1 1 4 x y z yz zx xy xyz      

Ta có:

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 4 4 4

1 1 1 1 1 4 4 4

x y z yz zx xy x y z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy

x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy

x z x y y z xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z x

     

            

                                                         

1 4 yz xyz 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABC  đều.

Bài 5: Cho x, y, z là các số thực …