Bài tập Giải tích 12 - Chương 4 Số phức

Chương 4: SỐ PHỨC.

§ 1 SỐ PHỨC

A. Kiến thức cơ bản:

1. Dạng đại số của số phức z là z a bi   , trong đó ,a b¡ , a được gọi là phần thực của số phức z , còn b được gọi là phần ảo của số phức z . 2. Số i được gọi là đơn vị ảo và có 2 1 i  3 4 5 ; 1; ; ... i i i i i     3. Các phép toán cộng, trừ, nhân trên hai số số phức: 1 1 1 2 2 2 , z a b i z a b i    

•    1 2 1 2 1 2 z z a a b b i     

•    1 2 1 2 1 2 z z a a b b i     

•       2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . z z a b i a b i a a a b i b a i b b i a a b b a b a b i           

• 1 1 1 kz ka kb i    , với k là số thực.

 Lưu ý: Các hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức khai triển nhị thực Niutơn vẫn được giữa nguyên khi áp dụng cho hai số phức.

4. Mỗi số phức z a bi   sẽ ứng với một điểm   ; M a b trên hệ toạ độ. Và modun của số

phức z a bi   được kí hiệu là z và có giá trị bằng khoảng cách OM . Tức

  2 2 z a b OM   

5. Số phức liên hợp của số phức z a bi   được kí hiệu là z và z a bi   6. Ta có   

2 2 .z z a bi a bi a b     

7. Phép chia hai số phức: 1 1 1 2 2 2 , z a b i z a b i     trong đó 2 0 z 

   1 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2 2 2 2 .

a b i a b i z z z z a b z z

    

8. Số phức nghịch đảo của số phức z được kí hiệu là 1 z và 1 1 , 0 z z z

 

9. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Cách giải: Giả sử z = + i a b ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và b.

Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

B. Bài tập mẫu:

Ví dụ 1: Cho 1 2 3 , 2 z i z i     Tính 1 1 2 z z z 

ThuVienDeThi.com

Lời giải

   1 1 2 3 3 2 10 10 0 z z z i i i i         2 2 1 1 2 10 0 10 z z z     

Ví dụ 2. Tìm số phức z biết    3 2 2 1 z z i i     (1)

Lời giải:

Giả sử z a bi   z a bi   

(1) 3 2 2 3 2( ) (2 3.2 3.2 )(1 ) a bi a bi i i i i         

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 ) a bi a bi i i i i i            

2 3 11 11 2 2 13 9 a bi i i i i        

13 3 13 13 9 3 9 3 9

a a z i b b

               

Ví dụ 3. Tìm số phức z biết:    2 3 3 2 2 (1) z z i i    

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có:

      2 (1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2 a bi a bi i i i i i           

2 4 2 10 24 5 12 22 19 a bi i i i i         11 19 ; 12 2 a b     . Vậy 11 19 2 2 z i  

Ví dụ 4. Tìm phần ảo của z biết:    3 3 2 2 (1) z z i i    

Lời giải

Giả sử z=a+bi

      2 3 (1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2 a bi a bi i i i i i i            

ThuVienDeThi.com

2 4 2 4 2 22 11 20 15 a bi i i i i         15; 10 4 a b    .

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 5. (A+A1 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 (1) 1 z i i z

   

Tính môđun của số phức 2 1 z z   .

Lời giải

Giả sử z=a+bi

5( ) (1) 2 1 a bi i i a bi       

2 5 5 ( 1) 2 2 2 3 2 (5 5 2 1) 0 a i b a bi ai bi i a b i b b a                  

3 2 0 1 1 3 4 0 1 a b a z i b a b                  

1 1 1 2 1 2 3 4 9 13 i i i         

Ví dụ 6. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: 2(1 2 ) (2 ) 7 8 (1) 1

i i z i i      

Tìm môđun của số phức 1 z i  

Lời giải

Giả sử z a bi  

2(1 2 ) (1) (2 )( ) 7 8 1

i i a bi i i        

2

2 2(1 2 )(1 ) 2 2 7 8 1

i i a bi ai bi i i          

ThuVienDeThi.com