Phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ CÔNG THỨC

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp

dx x C    du u C   

 

1 x x dx C 1 1

        

1 u u du C 1 1

      

 

x x a a dx C 0 a 1 lna       

u u a a dx C 0 a 1 lna     

  dx ln x C x 0 x       du ln u C u 0 u    

x x e dx e C   

u u e du e C   

cosxdx sinx C    cosudu sinu C   

sinxdx cosx C    sinudu cosu C   

coskx sinkxdx C k    sinkx coskxdx C k   

2 1 dx cotx C sin x    2 1 du tanu C cos u   

2 1 dx tanx C cos x    2 1 du cot u C sin u   

Caùc phửụng phaùp tính nguyeân haứm a.Ph-ơng pháp đổi biến số:     f u(x) u'(x)dx F u(x) C   

b.Ph-ơng pháp tích phaân töøng phaàn: udv u.v vdu    

    1 d ax b ax b C a     

kx kx e e dx C k   

 

1 1 dx , 1 1 ax b ax b c a

   

                  1 cos dx sin ax b ax b a      c

dx 1ln ax b c ax b a       c     1 sin dx cos ax b ax b c a      

ThuVienDeThi.com

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2

1 dx ax b ax b e e c a

         1 tg dx ln cos ax b ax b c a     

1 dx ln

px q px q a a c p a

         1 cotg dx ln sin ax b ax b c a     

2 2 dx 1 arctg x c a a a x

     

  2

dx 1cotg sin

ax b c a ax b

     

2 2 dx 1 ln 2

a x c a a x a x

       

  2

dx 1 tg cos

ax b c a ax b

    

  2 2

2 2 dx ln x x a c x a

      2 2 arcsin dx arcsin x x x a x c a a     

2 2 dx arcsin x c a a x

    2 2 arccos dx arccos x x x a x c a a     

2 2 dx 1 arccos x c a a x x a

      2 2 arctg dx arctg ln 2 x x a x a x c a a     

2 2

2 2 dx 1ln a x a c a x x x a

        2 2 arccotg dx arccotg ln 2 x x a x a x c a a     

    ln dx ln b ax b x ax b x c a                dx 1ln tg sin 2 ax b c ax b a

    

2 2 2 2 2 dx arcsin 2 2 x a x a x a x c a         dx 1ln tg sin 2 ax b c ax b a

    

 

2 2 sin cos sin dx

ax ax e a bx b bx e bx c a b       

2 2 cos sin cos dx

ax ax e a bx b bx e bx c a b

    

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định . Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau : a/ Nếu : ( ) ( ) f x F x C    và với u=(x) là hàm số có đạo hàm thì :

( ) ( ) f u du F u C   

ThuVienDeThi.com

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3

b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x= t  . Trong đó t  cùng với đạo hàm của nó (  ' t  là những hàm số liên tục ) thì ta được :

  ( ) ' ( ) ( ) f x dx f t t dt g t dt G t C              . Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau : Bài toán 1:

Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : ( ) I f x dx 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1: chọn x= t  , trong đó t  là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: lấy vi phân hai vế :  ' dx t dt    Bước 3 : Biến đổi :    ( ) ' f x dx f t t dt g t dt        

 Bước 4: Khi đó tính : ( ) ( ) ( ) f x dx g t dt G t C      . * Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

Dấu hiệu Cách chọn

2 2 a x  sin 2 2 ost 0 t

x a t t

x a c

 



       

2 2 x a 

 

; sin 2 2

0; \ ost 2

a x t t

a x t c



 

                     

2 2 a x 

 

tan ; 2 2

cot 0;

x a t t

x a t t





             

a x a x a x a x      x=a.cos2t

   x a b x   x=a+ 

2 sin b a t 

Ví dụ 1. Tính tích phân bất định

ThuVienDeThi.com