Các dạng toán về lãi suất

- 1 -

LÃI XUẤT NGÂN HÀNG – TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ

I.LÃI ĐƠN: Lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố định trước. Ví dụ : Khi gởi 1 000 000đ vào ngân hàng với lãi suất là 5%/năm thì sau một năm ta nhận số tiền lãi là : 1 000 000 x 5% = 50 000đ Số tiền lãi này như nhau được cộng vào hàng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn. Như vậy sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là 1 000 000 + 2 x 50 000 = 1 100 000đ Nếu gởi sau n năm thì sẽ nhận số tiền cả gốc lẫn lãi là : 1 000 000 + 50 000n đ. Kiểu tính lãi này không khuyến khích người gởi, bởi vì khi ta cần rút tiền ra. Ví dụ ta gởi 1 000 000 đ với lãi suất 5%/năm, sau 18 tháng ta vẫn chỉ được tính lãi một năm đầu và tổng số tiền rút ra chỉ là 1 000 000 + 50 000 = 1 050 000đ. Vì vậy các ngân hàng thường tính chu kỳ lãi suất ngắn hơn, có thể tính theo tháng.

Nếu lãi suất 5

12

%/tháng thì cuối tháng đầu chúng ta sẽ có số tiền lãi từ

một triệu đồng là 1 000 000 x 5

12

% = 41662

3

đ. Và sau một năm tổng

số tiền lãi là :

41662

3

x 12 = 50 000 đ. Như vậy, với lãi đơn, không có sai khác gì nếu

ta nhận lãi theo tròn năm hay theo từng tháng. Tuy nhiên, nếu ta rút

tiền ra giữa chừng, ví dụ sau 18 tháng thì ta sẽ được số tiền lãi là 41662

3

x 18 = 75 000đ. Do đó tiền lãi sẽ nhiều hơn so với tính lãi theo năm.

II.LÃI KÉP Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính lãi. Loại lãi này được gọi là lãi kép. Ví dụ : Khi gởi 1 000 000đ với lãi suất 5%/năm thì sau một năm ta vẫn nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 1 050 000đ. Toàn bộ số tiền này được gọi là gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai sẽ là :

ThuVienDeThi.com

- 2 -

1 050 000 + 1 050 000 x 5% = 1 102 500đ Gọi xn là số tiền nhận được cuối năm n thì với x0 = 1 000 000đ = 106 đ Sau năm thứ nhất ta nhận được : x1 = 106 + 106 x 5% = 106 (1 + 5%) = 106x 1,05 = 1 050 000đ Sau năm thứ hai ta nhận được : x2 = x1 + x1.5% = x1(1 + 5%) = x0.(1 + 5%)2 đ Sau năn thứ ba ta nhận được : x3 = x2 + x2.5% = x0.(1 + 5%)3 đ Sau năm thứ n ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là : xn+1 = (1 + 5%)xn = 1,05xn . Phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất xn+1 = q.xn , n = 0, 1, 2, …

2.1Bài toán tổng quát 1:: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi T sau n tháng?

-- Giải -- Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2

………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n

Vậy T = a(1 + r)n (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng. Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:

1)  

T ln a n ln(1 r) ; 2)   n T r 1 a ; (1 )n T a r  

Ví dụ 1.1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?

ThuVienDeThi.com

- 3 -

Ví dụ1.2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng? Ví dụ1.3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng? Ví dụ1.4: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005-

Hải Dương)

Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều

hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất 12

5 % một tháng.

Ví dụ 1.5: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy …