Từ công thức tính thể tích vật thể đến công thức tính thể tích khối cầu, chỏm cầu

1

TỪ CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ĐẾN CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU, CHỎM CẦU

-------------------------------------------------- I/ Công thức tính thể tích vật thể. Trong không gian Oxyz , gọi B là phần của vật thể T giới hạn bởi 2 mp vuông góc với Ox tại các điểm a,b ( a <b) . Tại điểm x  [a,b] ta dựng mặt phẳng  vuông góc Ox cắt vật thể T theo

thiết diện có diện tích S(x) . Khi đó thể tích V của B là V=

b

a

S(x)dx  ( Sách GK GT 12- Nâng cao)

II/ Áp dụng: Xét vật thể T là vật thể tròn xoay – khi đó thiết diện tạo bởi mp  qua x và vuông góc Ox là hình tròn có bán kính rx và diện tích S(x) =  2 xr - Trong bài viết ta xét vật thể là khối cầu và 1 phần khối cầu.

1/Thể tích khối cầu: Trong mp Oxy, cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tại điểm có hoành độ x  [-R;R] dựng mặt phẳng  vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx . Gọi S(x) là diện tích hình tròn này. Thể tích khối cầu bán kính R là :

R R R 2 2 2 x R R R

3 3 2 R

R

V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx

x 4πR π(R x ) | 3 3

  



   

  

  

2/ Thể tích chỏm cầu: Tại điểm có hoành độ x  [R-h;R] dựng mặt phẳng  vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx . Gọi S(x) là diện tích hình tròn này. Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu bán kính R là :

R R R 2 2 2 x R h R h R h

3 2 R 2 R h

V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx

x h π(R x ) | πh (R ) 3 3

  



   

   

  

rx

y

x -R R O

R-h x

3/ Thể tích đới cầu Tại các điểm có hoành độ a, b [-R;R] ( a <b) dựng các mặt phẳng  ,  vuông góc Ox . Tính thể tích phần khối cầu giới hạn bởi 2 mp , .Tại điểm có hoành độ x  [a,b] dựng mặt phẳng  vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx . Thể tích khối phần khối cầu giới hạn bởi 2 mp ,  của khối cầu bán kính R là :

b b b 2 2 2 x a a a

3 3 3 2 b 2 a

V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx

x b a π(R x ) | π[R (b a) ] 3 3

   

     

  

rx

y

x -R R O

x b a

III/ Phần bài tập trác nghiệm liên quan.

rx

y

x -R R O

x

M

ThuVienDeThi.com

2

H

Chúng tôi chỉ nêu câu dẫn , học sinh tự đề xuất các phương án trả lời để có các bài trắc nghiệm hoàn chỉnh. 001.Một chỏm cầu của hình cầu có chiều cao h = 1, và bán kính đáy r = 3. Tính bán kính R của hình cầu. Hướng dẫn: Gọi d là khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu . Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2

 9= 2d+1 ( h=1, r=3)  d =4  R =5 002. Một chỏm cầu của hình cầu bán kính R = 5; có chiều cao h = 1. Tính bán kính mặt đáy r của chỏm cầu . Hướng dẫn: Gọi d là khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu . Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2

 25 = (d+1)2  d =4  r=3 ( bài tính ngược của bài 001) 003. M là một điểm trên mặt cầu (O, R) .  là mp qua M và tạo với OM một góc 300.  cắt khối cầu thành 2 chỏm cầu. Tính thể tích chỏm cầu chứa điểm O. Hướng dẫn: Gọi d là khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu . Từ giả thiết  d= R/2  h= R/2

Thể tích chỏm cầu là V=  h2(R-

2 3 h R R 5πR ) π (R ) 3 4 6 24   

004. Hình quạt OAB của hình tròn tâm O; bán kính R = 4 có góc ở tâm bằng 1200. M là trung điểm cung AB. Quay hình quạt này quanh đường thẳng OM ta được vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể T.

O

A B

M

Hướng dẫn: Gọi d là khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu . Từ giả thiết  d= OH = R/2  h= HM = R/2

Thể tích chỏm cầu là  h2(R-

2 3 h R R 5πR ) π (R ) 3 4 6 24   

Thể tích khối nón là  r2h*=

3 2 R 3 R 3πR π( ) . 2 2 8 

Thể tích vật thể T là

3 5πR

24 +

3 3 3 3πR 14πR 7πR 8 24 12  

.005. Hình quạt OAB của hình tròn tâm O; bán kính R = 4 có góc ở tâm bằng 600. Quay hình quạt này quanh đường thẳng OA ta được vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể T.

600

B

O

A

ThuVienDeThi.com