Lý thuyết và bài tập Số phức môn Giải tích 12

39

SỐ PHỨC I. Tóm tắt lý thuyết.

1. Định nghĩa số phức. • Số phức z là một biểu thức có dạng z=a+bi , trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn 2 1 i . o a là phần thực, b là phần ảo. o i là đơn vị ảo. • Tập hợp các số phức kí hiệu là £ . • Đặt biệt:

o Số phức z=a+0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a. o Số phức z=0+bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo hay số thuần ảo và viết z=bi. o Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Số phức bằng nhau. • Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

o a=a' a+bi=a'+b'i . b=b'  

 3. Biểu diễn hình học của số phức. • Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy.

4. Mô đun số phức.

• Môđun số phức z=a+bi là số thực không âm kí hiệu 2 2 z = a +b .

5. Số phức liên hợp. • Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là số phức z=a-bi . 6. Cộng, trừ, nhân và chia số phức. • Cho hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i .

o Cộng hai số phức:       a+bi a'+b'i ' ' a a b b i      .

o Trừ hai số phức:       a+bi a'+b'i ' ' a a b b i      .

o Nhân hai số phức:       a+bi a'+b'i aa'-bb' ' ' ab a b i    .

o Chia hai số phức: 2 2 2 2 a+bi aa'-bb' ' ' a'+b'i ' ' ' '

ab a b i a b a b

    

.

7. Căn bậc hai của số thực âm.

• Căn bậc hai của số thực a âm là i a  .

8. Phương trình bậc hai với hệ số thực. • Cho phương trình bậc hai 2 ax x+c=0 b  với a,b,c , a 0   ¡ .

• Khi <0 phương trình có hai nghiệm phức: 1,2 2

b i x a

   .

II. Các dạng bài tập.

Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức

1. z=  2 3 4 5 i i i   2.   3 4 z= 1 2 2 3 2 . i i i i   

Bài 2: Cho hai số phức 1 2 2 5 , z =3-2i z i   . Xác định phần thực và phần ảo số phức 1 2 2 3 . z z 

Bài 3: Cho hai số phức 1 2 2 3 , z =-3-4i z i  . Xác định môđun số phức 2 2 2 1 2 4 2 z z z   Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết:

1.     2 2 z= 1-2i 1 3 2 2 i i i    2.      2 1 3 1 1 2 z i i i i     

3. 4 2 1

i z i    4.    2 2 1 2 z i i   

Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

              2 2 1. 1-i 2 4 5 2. 1-2i 2 3 3. 1-z 2 1 2 2 3 z i i z i i i i          

O

M(a;b)

y

x

a

b .

ThuVienDeThi.com

40

Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z:

       

       

2 2 2 3

3 1. 1 - 1-2i 2. 3 2 4 2 5 2 3

3. z = 2 3 2 2 4 4. z= 1- 3 1 3 1 2

z i z i i i i i

i i i i

      

     

Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết:

          2 2 2 2 1. 2 2 + 2+ 2 2. 2 3 + 2+ 3 2 3 z i i z i i i i      

Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết:

  

 

2 3

2 2-3i 1. z=2-3i 2. z=-3+4i-4i 2 3. z= 1-2i 3 2 4. z=

1+i i i  

Bài 11: Cho hai số phức 2 3 , z'=3-5i z i  . Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3.Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3. Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy.

Bài 12. Cho số phức   

2 1 1 1 z mi mi     .Xác định số thực m để z là số thuần ảo.

Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết:

    1. z- 2+3i 1 9 2. 1-2i 2 3 10 z i z z i    

Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phức z , biết:     z- 1 9 2+3i i z  

Bài 15: Giải các phương trình sau 2 x 2x+5=0  trên tập số phức. Bài 16: Giải các phương trình sau 2 6 +10=0 z z  trên tập số phức.

Bài 17: Gọi 1 2 z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 +10=0 z z  . Tính giá trị của biểu thức

2 2 1 2 A=2 3 z z  .

Bài 18: Giải các phương trình sau 4 2 3 4=0 z z   trên tập số phức. Bài 19: Giải các phương trình sau 4 2 10 +9=0 x x  trên tập số phức.

Bài 20: Tính mô đun số phức z , biết:    

 

2 2

2 2 3 1

1 2

i i z

i

   



Bài 21: Cho số phức 2 3 z i   . Tính mô đun số phức 3 z z  .

Bài 22: Cho số phức 2 2 z i   . Xác định phần ảo số 

2 z z  .

Bài 23: Cho số phức 1 z i . Tính mô đun số …