Xem trước nội dung
Trang - 1
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG PHẦN 1: NGUYÊN HÀM A. Các nguyên hàm thường gặp:
= + ∫dx x C .a dx ax C = + ∫
= + ∫ 1 ln dx x C x 1 1 .ln dx ax b C ax b a = + + + ∫
α α
α
+ = + + ∫
1
1 x x dx C , α ≠−1
1 1 ( ) ( ) . 1 ax b ax b dx C a
α α α
+ + + = + + ∫ , α ≠−1
= + ∫
x x e dx e C 1 ax b ax b e dx e C a
+ + = + ∫
ln
x x a a dx C a = + ∫ 1 . ln
x x a a dx C a
α β α β α
+ + = + ∫
sin . cos x dx x C = − + ∫ + = − + + ∫ 1 sin( ). cos( ) ax b dx ax b C a
cos . sin x dx x C = + ∫ + = + + ∫ 1 cos( ). sin( ) ax b dx ax b C a
2 1 tan cos dx x C x = + ∫ 2 1 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫
= − + ∫ 2 1 cot sin dx x C x 2 1 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a = − + + + ∫
B. Các phương pháp tính nguyên hàm : 1) Dùng tính chất và bảng nguyên hàm: Ví dụ :
a. ( ) ( ) ( ) + + + = + = + ∫
6 6 5 5 3 5 3 1 5 3 . 5 6 30
x x x dx C C
4 2 3 1 . 3 7 3. ln 7 4 2 x x b x x dx x x C x − + − = − + − + ∫
c. ( ) 2 3 x x dx + ∫ d.
5
2
1 x x dx x + − ∫ e. 2 tan xdx ∫
2) Phương pháp đổi biến số:
Để tính / [ ( )] ( ) f u x u x dx ∫ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 : Đặt ( ) t u x = . Ta có ( ) ′ = dt u x dx
Bước 2 : / [ ( )] ( ) ( ) f u x u x dx f t dt = ∫ ∫
Bước 3 : Tìm nguyên hàm hàm số ( ) f t theo biến t
Bước 4 : Thế ( ) t u x = vào nguyên hàm của hàm số ( ) f t .
Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số hãy tính :
a) I = 2 . 1 x dx x + ∫ ( đặt u = x2 + 1)
+ Đặt u = x2 + 1 ⇒ = ⇒ = 2 . . 2 du du x dx x dx
ThuVienDeThi.com
Trang - 2
+ Khi đó : I = 2
1 1 1 . . . 1 2 2 x du dx du x u u = = + ∫ ∫ ∫ = + = + + 2 1 1 ln ln 1 2 2 u C x C
b) I = cos .sin . x e x dx ∫ (đặt u = cosx)
+ Đặt u = cosx ⇒ = − ⇒ = − sin . sin . du x dx x dx du
+ Khi đó: I = ( ) cos cos .sin . . . x u u u x e x dx e du e du e C e C = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫
c) I =
+ ∫
2
3 . 2
x dx x ( đặt u = 3 2 x + ) d) I = − ∫
3 2 . 1 x x .dx e) I = 3 cos .x dx ∫
Chú ý 1: Các dạng bài tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số DẠNG CÁCH ĐẶT ( ) ( ) ∫ . ' a u x dx u x
( ) ( )
. '
n a u x dx u x ∫
Đặt u = u(x) ( hay ( ) n u x )
( ) ( ) ∫ . . ' u x e a u x dx Đặt u = u(x)
( ) ( ) ∫ . . ' n u x a u x dx
( ) ( ) α ∫ . . ' n u x a u x dx Đặt u = u(x) ( hay ( ) n u x )
3) Phương pháp nguyên hàm từng phần: + Các dạng bài tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm, Dạng ( ). x P x e dx ∫ ( ).cos P x xdx ∫ ( ).sin P x xdx ∫ ( ).ln P x xdx ∫
u P(x) P(x) P(x) lnx Cách đặt dv exdx cosxdx sinxdx P(x)dx + Công thức nguyên hàm từng phần: . . u dv u v vdu = − ∫ ∫
Ví dụ : a) Tính A=∫ln .x dx
+ Đặt:
1 ln . u x du dx x dv dx v x
= = ⇒ = =
+ Khi đó: A= = − = − = − + ∫ ∫ ∫ 1 ln . .ln . . .ln 1. .ln x dx x x x dx x x dx x x x C x
b) Tính B=∫.cos x xdx
+ Đặt: cos sin u x du dx dv xdx v x = = ⇒ = =
+ B= = − = + + ∫ ∫ .cos .sin sin .sin cos x xdx x x xdx x x x C
c) Tính C =∫. x x e dx + Đặt: x u x
dv e dx
= = d) Tính D=∫.sin 2 x xdx
Tìm một nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước: * Phương pháp giải: + Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho. + Dựa vào điều kiện đã cho tìm C + Thay C vào họ nguyên hàm ⇒ một nguyên hàm cần tìm.
* Vận dụng: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin3x khi biết F( 6 π )= 0
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
