182 bài tập trắc nghiệm về Tọa độ không gian Oxyz cơ bản - Đặng Văn Luân

1

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một và

chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k  là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục

Ox,Oy,Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý: 2 2 2 i j k 1       và i.j i.k k.j 0       .

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:   u x; y; z u xi yj zk          

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 a (a ;a ;a ), b (b ;b ;b ), k R     

 1 1 2 2 3 3 a b (a b ; a b ; a b )      

 1 2 3 ka (ka ; ka ; ka )  



1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

        

 

0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)        

a  cùng phương b(b 0)     a kb (k R)    

1 1

3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

a kb a a a a kb , (b , b , b 0) b b b a kb

           

 1 1 2 2 3 3 a.b a .b a .b a .b       1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b 0       

 2 2 2 2 1 2 3 a a a a      2 2 2 1 2 2 a a a a    

 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

a b a b a b a.b cos(a, b) a . b a a a . b b b

       

      (với a, b 0     )

ThuVienDeThi.com

2

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) OM x.i y.j z.k        

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao

độ)

Chú ý:        M Oxy z 0;M Oyz x 0;M Oxz y 0         

 M Ox y z 0;M Oy x z 0;M Oz x y 0             .

b) Tính chất: Cho A A A B B B A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z )

 B A B A B A AB (x x ;y y ;z z )     

 2 2 2 B A B A B A AB (x x ) (y y ) (z z )      

Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: A B A B A B x x y y z z M ; ; 2 2 2

           

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G ; ; 3 3 3

              

Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G ; ; 4 4 4

                 

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 1 2 3 a (a , a , a )  

, 1 2 3 b (b , b , b )  

.

Tích có hướng của hai vectơ a 

và b, 

kí hiệu là a,b      



, được xác định bởi

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

a a a a a a a,b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b b b b b b b

                  

 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

[a, b] a; [a, b] b      

 a, b b,a             

 

i, j k; j,k i; k, i j                     

   [a,b] a . b .sin a,b       (Chương trình nâng cao)

a, b 

cùng phương [a, b] 0    

(chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

ThuVienDeThi.com

3

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b 

và c 

đồng phẳng  [a, b].c 0  

Diện tích hình bình hành ABCD : ABCD S AB,AD      

 Diện tích tam giác ABC: ABC 1 S AB, AC 2         

 Thể tích khối hộp ABCDA B C D : ABCD.A'B'C'D' V [AB, AD].AA 

 

 Thể tích tứ diện ABCD : ABCD 1 V [AB, AC].AD 6 



Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông

góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích

khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng,

chứng minh các vectơ cùng phương.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Gọi  là góc giữa hai vectơ a 

và b 

, với a 

và b 

khác 0 

, khi đó cos bằng:

A. a.b

a . b



 . B.

a.b

a . b



. C. a.b

a . b





 . D. a b

a . b

  

 .

Câu 2. Gọi  là góc giữa hai vectơ   a 1;2;0 

và   b 2;0; 1  

, khi đó cos bằng:

A. 2 5 . B. 0. C. 2 5

. D. 2 5  .

Câu 3. Cho vectơ   a 1;3;4 

, tìm vectơ b 

cùng phương với …