Bài tập Giải tích 12 - Tích phân và các hàm số cơ bản

§ 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN

TÍCH PHÂN TỰ LUẬN ĐỦ CÁC DẠNG V CÓ B I TẬP TỰ LUYỆN PHÂN THEO B I HỌC TRONG SGK CẦN FILE WORD 200 TRANG – GIÁ 300K. Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH ĐT: 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 A. Các dạng toán…………………………………………………...… 00 Dạng 1. Tích phân hàm hữu tỷ…………..………………..……. 00 Dạng 2. Tích phân hàm vô tỷ…………………………...………. 00 Dạng 3. Tích phân hàm lượng giác….…..………………..……. 00 Dạng 4. Tích phân hàm logarit…….…………………...………. 00 Dạng 5. Tích phân hàm số mũ….………..………………..……. 00 Dạng 6. Tích phân chứa trị tuyệt đối…...……………...………. 00 Dạng 7. Tích phân chứa nhiều hàm số….………………..……. 00 B. Bài tập tương tự…………………………………………………... 00 Dạng 1. Tích phân hàm hữu tỷ…………..………………..……. 00 Dạng 2. Tích phân hàm vô tỷ…………………………...………. 00 Dạng 3. Tích phân hàm lượng giác….…..………………..……. 00 Dạng 4. Tích phân hàm logarit…….…………………...………. 00 Dạng 5. Tích phân hàm số mũ….………..………………..……. 00 Dạng 6. Tích phân chứa trị tuyệt đối…...……………...………. 00 Dạng 7. Tích phân chứa nhiều hàm số….………………..……. 00

ThuVienDeThi.com

A. CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Tích phân dạng ( ) ( )

d P x x Q x ∫ , với ( ) P x và ( ) Q x là những đa thức. Trong đó

bậc của ( ) P x nhỏ hơn bậc của ( ) Q x . Ngược lại ta lấy ( ) P x chia cho ( ) Q x .

Trong chương trình phổ thông ta xét các dạng sau:

Bài toán 1. Mẫu là nhị thức bậc nhất ( ) ( ) , 0 Q x ax b a = + ≠ .

Suy ra ( ) P x là hằng số.

Khi đó tích phân cần tính có dạng

1 1 d . d . ln A x A x A ax b ax b ax b a = = + + + ∫ ∫ .

Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)

1

0

2 1d 1 x I x x

− = + ∫ . b)

2 2

0

3 5 d 1 x x I x x + + = + ∫ .

Lời giải

a) Ta có ( ) 1 1 1

0 0 0

2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 x x I dx dx dx x x x

  + − −   = = = −      + + + ∫ ∫ ∫

( )

1

0 2 3ln 1 2 3ln2 x x = − + = − .

Vậy 2 3ln 2 I = − .

b) Ta có

2 3 5 3 2 1 1 x x x x x + + = + + + + .

Do đó

2 2 2

0 0

3 5 3 2 1 1 x x I dx x dx x x

  + +   = = + +      + + ∫ ∫

2 2

0 2 3ln 1 6 3ln3 2 x x x     = + + + = +       .

Vậy 6 3ln3 I = + .

ThuVienDeThi.com

Bài toán 2. Mẫu là tam thức bậc hai ( ) ( ) 2 , 0 Q x ax bx c a = + + ≠ .

Suy ra ( ) P x là hằng số hay bậc nhất.

● Trường hợp 2 0 ax bx c + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thì phân tích

( ) ( ) 1 2

P x A B Q x x x x x = + − − .

Sau đó dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A và B . ● Trường hợp 2 0 ax bx c + + = có nghiệp kép 0x thì

( ) ( )

( )

( )

2 0

P x P x

Q x a x x = − với 0 2

b x a =− .

▪ Nếu ( ) P x là hằng số thì

( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0

1 1 d d . A A A x x a a x x a x x x x

  −    = =      − − −   ∫ ∫ .

▪ Nếu ( ) P x là hàm bậc nhất thì

( )

( )

( )

0 0 2 2 0 0

1 d d A x x B Ax Ax B x x a a x x x x

− + + + = − − ∫ ∫

( ) ( ) 0 2 0 0

1 1 1 . d . d A x B Ax x a x x x x

    = + +   − −     ∫ ∫ .

● Trường hợp 2 0 ax bx c + + = vô nghiệm thì

( ) ( )

( )

( )

2 P x P x

Q x a x m n =

+ +

với , 0 2 4 b m n a a ∆ = =− > .

▪ Nếu ( ) P x là hằng số thì

( ) ( ) 2 2 2 2 1 d d A x A x a x m n a x m n = + + + + ∫ ∫ .

Đặt tan n x m t a + = .

▪ Nếu ( ) P x là hàm bậc nhất thì

( )

2 2 2 2 2 d d

A Ab ax b B Ax B a a x x ax bx c ax bx c

+ + − + = + + + + ∫ ∫

2 2 d 2 A ax b x a ax bx c + = + + ∫

ThuVienDeThi.com