Xem trước nội dung
Tích phân liên kết
Trong một số bài toán tính tích phân I = , ta tìm đến tích phân K=
và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I ) .
Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K :
Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K . Ta thường gặp trường hợp : * I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I . * K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K)
Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn . Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau .
Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ :
Bài 1: Tính I =
Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ?
Vì sin2x + cos2x =1 , ta xét tích phân tương tự : K =
Ta có : I +K = = sin2x | = (*)
Mặt khác : K-I = =
= = (**)
Từ (*) (**) suy ra : I =
Bài 2: Tính I =
Xét bài toán (tích phân) tương tự : K =
Bằng phép thay biến x = /2-t Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= /2 , x = /2→ t= 0 Khi đó : I = ...= K
( )
b
a
f x dx ( )
b
a
g x dx
mI nK a
pI qK b
6
2
0
cos2 .x sin xdx
6
2
0
cos2 . os x c xdx
6
0
cos2xdx
1 2
6 0 3 4
6
2 2
0
cos2 (cos ) x x sin x dx
6
2
0
cos 2xdx
6
0
1 (1 cos4 ) 2 x dx
6 0 1 1 1 3 1 3 ( sin 4 ) | ( ) ( ) 2 4 2 6 8 4 3 4 x x
1 3 3 ( ) 8 4 3
2
0
sin sin cos 1 x dx x x
2
0
os sin cos 1 c x dx x x
ThuVienDeThi.com
Ta có : I + K = = - = /2 -
Tính = =
= =
=
Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K =
Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = ....= 0 → I=K .
Bài 3: I =
Nếu tính được I = thì ta cũng tính được K =
Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx .
Bằng phép thay biến x = /2-t Ta cm được I = K
Ta có : I+K = =
Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx x = 0 → t=1 , x = /2 → t= -1
I+K = = ... = /4
Suy ra : I = /8 Chú ý : (cos4x )’= -4 cos3xsinx - xét đến (sin4x )’= 4 sin3xcosx Ta có: (sin4x + cos4x )’= - sin4x
2
0
cos sin sin cos 1 x x dx x x
2
0
1dx
2
0
1 sin cos 1dx x x
2
0
1 sin cos 1dx x x
2
0
1 sin cos 1dx x x
2
0 1 1 sin( / 4) sin( / 4) 2
dx x
2
0 1 1 2 2 sin( ) os( ) 2 4 2
dx x x c
2 2
0 0
os[( ) ( )] 1 1 2 4 2 [cot( ) tan( )] 2 2 2 4 2 sin( ) os( ) 2 4 2
x x c x x dx dx x x c
/2 0 [lnsin( ) ln os( )]| 2 4 2 x x c
/2 0 sin( ) 2 2 4 ln | ln 2 ln ln 2 2 os( ) 2
x
x c
ln 2
2
3 2
4 4 0
cos sin sin cos x x dx x x
3 2
4 4 0
cos sin sin cos x x dx x x
3 2
4 4 0
sin cos sin cos x x dx x x
2
4 4 0
sin cos sin cos x x dx x x
2
2 0
sin 2 1 cos 2
x dx x
1
2 1 1 1 2 1 dt t
ThuVienDeThi.com
Khi đó : 4(I-K) = = - ln( )| = 0 → I= K
Bài 4: I =
* Chọn K =
Ta có : (1)
* Tính K . Để ý (e2x+3 )’= 2 e2x .
Khi đó : K = (2)
Từ (1) (2) suy ra : I = .
Bài 5:
Liên hệ đến hằng đẳng thức : x6 +1 = (x2 +1) ( x4- x2 +1) , ta chọn
Ta có : I - K = =
Đặt x = tant → dx = (1+tan2t)dt . x = 0 → t =0 , x = 1 → t = /4
Khi đó : I-K = và
suy ra : I = + .
Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau :
Bài tập đề nghị :
Bài 1: a/ b/
Bài 2: a/ b/ c/
Bài 3: a/ b/
2
4 4 0
sin 4 sin cos
x dx x x
4 4 sin cos x x /2 0
1
2 0 3 x dx e
2 1
2 0 3
x
x e dx e 1
0 3 1 I K dx
1
0
2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 3 ln( 3) | ln( ) 2 3 2 2 4
x
x x e dx e e e
2 1 1 3 ln( ) 3 6 4 e
4 1
6 0
1 1 x I dx x
2 1
6 0 1 x K dx x
2 4 1
6 0
1 1 x x dx x
1
2 0
1
1 dx x
/4
0
1 4 dt
2 2
1
0
1 1 6 6 6 0 0 1 3 1 1 ln( 1) | ln 2 1 3 1 3 3 x x K dx dx x x x 1 ln 2 3 4 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
