Xem trước nội dung
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
1. = ln + C 2. =ln + C x dx sin 2 tan x x dx cos ) 4 2 tan( x
3. = ( + ln ) + C 4. = ( + ln ) + C x dx
3 cos 2 1
x x cos
tan ) 4 2 tan( x x dx
3 sin 2 1
x
x sin
cot
2 tan x
5. = + C 6. = + C 2 2 a x
dx
a 2
1
a x
a x
ln 2 2 a x
dx 2 2 ln a x x
7. = + C 8. = ln|x2 + a| + C 2 2 a x
dx 2 2 ln a x x 2 2 a x
xdx
2 1
9. = ln|x2 - a| + C 10. = + C 2 2 a x
xdx
2 1 2 2 a x
xdx 2 2 a x
11. = + C 12. = ( x + a2 ) + C 2 2 a x
xdx 2 2 a x dx a x 2 2
2 1 2 2 a x 2 2 ln a x x
13. = ( x - a2 ) + C 14. = xlnx - x + C dx a x 2 2
2 1 2 2 a x 2 2 ln a x x xdx ln
15. = - ln|cosx| + C 16. = ln|sinx| + C xdx tan xdx cot
Lưu ý: 1. du = u'.dx VD: d(ax+b) = d(ax) = adx; d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx
d(tan ) = (tan )'dx = ( )' = = ; ... 2 x
2 x
2 x
2 cos2 x
dx
2 1
2 cos2 x
dx
2 cos
) 2 (
2 x
x d
2. Nếu = F(u) + C thì = F(au + b) + C (a 0) du u f ) ( du b au f ) ( a 1
VD: = ln|au + b| + C; = + C ( -1) ; ... b au
du
a 1 dx b ax ) ( a 1
1
) ( 1
b ax
3. Biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan : sinx = ; cosx = ; tanx = ; dx = 2 x
2 1
2
t t 2
2
1 1
t t
2 1
2
t t 2 1
2
t dt
4. = ( - ) ) )( (
1
b x a x b a
1
a x
1
b x
1
5. ; Đặt x = atant 2 2 a x
dx 2 2 a x
dx
6. Đặt x = 2 2 a x
dx
t a cos
7. Đặt x = asint 2 2 x a
dx
Chứng minh
1. I = = = = = ln + C x dx sin 2 1
2 cos 2 sin x x
dx
2 1
2 cos 2 tan 2 x x
dx
2 tan
) 2 (tan
x
x d
2 tan x
Cách 2: = = = - = - x dx sin x xdx
2 sin sin
x x d
2 cos 1
) (cos ) cos 1 )( cos 1(
) (cos
x x
x d
2 1 ) (cos ) cos 1
1 cos 1
1 ( x d x x
ThuVienDeThi.com
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
= - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = + C 2 1
2 1
x x cos 1
cos 1 ln
Rõ ràng = = = nên hai kết quả trên, đều đúng!. x x cos 1
cos 1
2 cos 2
2 sin 2
2
2
x
x
2 tan 2 x
2 tan x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = 2 1
2
t dt ; thay sinx = (cosx = ; tanx = ) 2 x ) 2 tan 1( 2 1 2 x 2 1
2
t t 2
2
1 1
t t
2 1
2
t t
I = = = = ln|t| + C = ln|tan | + C x dx sin
2
2
1
2 1
2
t t
t dt
t
dt
2 x
Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số 2 x
2. = = = x dx cos
) 2 sin( x
dx
2 1
) 4 2 cos( ) 4 2 sin( x x
dx
2 1
) 4 2 ( cos ) 4 2 tan( 2 x x
dx
= =ln + C
) 4 2 tan(
) 4 2 (tan
x
x d
) 4 2 tan( x
Cách 2: = = = = x dx cos x xdx
2 cos cos x x d
2 sin 1
) (sin ) sin 1 )( sin 1(
) (sin
x x
x d
2 1 ) (sin ) sin 1
1 sin 1
1 ( x d x x
= (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = + C 2 1
2 1
x x sin 1
sin 1 ln
Rõ ràng = = = = x x sin 1
sin 1
2
2
) 2 cos 2 (sin
x x
x x
2 cos 2 sin
2 cos 2 sin
x x
x x
) 4 2 cos( 2
) 4 2 sin( 2
x
x
) 4 2 tan( x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = 2 1
2
t dt ; thay cosx = 2 x ) 2 tan 1( 2 1 2 x 2
2
1 1
t t
I = = = = = = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = + C x dx cos
2
2
2
1 1 1
2
t t t dt
2 1
2
t dt ) 1 )( 1(
2
t t
dt dt t t ) 1
1 1
1 ( t t 1 1 ln
= ln + C ) 4 2 tan( x
3. I = Đặt u = du = dx; dv = v = tanx x dx
3 cos x cos
1 x x
2 cos
sin
x dx
2 cos
AD CT NH TP : I = - = - = - I1 x x cos
tan x
xdx x
2 cos
tan . sin
x x cos
tan x xdx
3
2
cos sin
x x cos
tan
Với I1 = = = - = I - x xdx
3
2
cos sin
x
xdx
3
2
cos
cos 1 x dx
3 cos x dx cos ) 4 2 tan( ln x
Từ đó I = - I1 = - (I - ln ) x x cos
tan
x x cos
tan ) 4 2 tan( x
2I = + ln + C I = ( + ln ) + C x x cos
tan ) 4 2 tan( x 2 1
x x cos
tan ) 4 2 tan( x
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
