Toán học lớp 12 - Bài tập phần Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM

 Định nghĩa:     ' . f x dx F x C F x f x     

T T Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp

1 1 . dx= 1.dx=x+C a   với k là số thực. 1 . k.dx=kx + C b 

2

1 x 2 . x dx= + C. 1 a

 





  1     

1 ax+b 1 2 . ax+b dx= + C. a 1 b

 





  1 

2 1 1 3 . dx= +C. x x a    

2 1 1 1 3 . dx= . + C. a ax+b ax+b b   3

3 2 1 1 3 . dx= +C. x 2x c    

1 1 1 3 . dx= + C. 1 . n n d x n x    

4 1 4 . dx= ln x +C. x a 

1 1 4 . dx= ln ax+b + C. ax+b a b 

5

x x 5 . e dx= e + C. a 

ax+b ax+b 1 5 . e dx= e + C. a b 

6 6 . sinxdx = cosx + C. a       1 6 . sin ax+b dx= cos ax+b + C. a b  

7 7 . cosxdx= sinx + C. a      1 7 . cos ax+b dx= sin ax+b + C. a b 

8 2 1 8 . dx= tanx + C. cos x a      2

1 1 8 . dx= tan ax+b + C. cos ax+b a b 

9 2 1 9 . dx= cotx + C. sin a x       2

1 1 9 . dx= cot ax+b + C. sin ax+b a b  

1. Tính chất:

   . . . . f g h dx f dx g dx h dx          . . . . k f dx k f dx    2. Đạo hàm của hàm lũy thừa.



/ 1 . x x      

/ 1 . . ' u u u     

3. Đạo hàm của hàm lượng giác.

 

/ sinx osx c   

/ sinu '. osu u c   

/ osx sinx c   

/ osu '.sinu c u 

 

/

2 1 tanx os c x   

/

2 ' tanu os

u c u 

 

/

2 1 cotx sin x   

/

2 ' cotu sin

u

u 

 

/ 2 sin sin2 x x   

/ 2 os sin2 c x x 

4. Đạo hàm của hàm mũ.



/ x x e e  

/ '. u u e u e 

Tổng quát: 

/ .ln x x a a a  

/ .ln . ' u u a a a u 

5. Đạo hàm của hàm lôgarít.

 

/ 1 lnx x   

/ ' lnu u

u 

Tổng quát:  

/ 1 log .ln a x x a   

/ ' log .ln a

u u u a 

ThuVienDeThi.com

2

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Dạng 1: Tính nguyên hàm theo công thức: ( ) ( ) f x dx F x C    1. Phương pháp:

 Áp dụng công thức:

    

    

( )

( )

( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

kf x dx k f x dx

      

      



  

      Áp dụng công thức trong bảng nguyên hàm. 2. Bài tập tham khảo và bài tập luyện tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số:

  2 4

2 5 3

1. 3 5

5 2 5

x x x dx

x x x x C

  

       

   

3 2

4 2

1. 3 2

2. 2 3

3. 3 3 2

x x dx

x dx

x x dx

 



 







3

4

2 2. 2sin 3cos 2

2 sx+3sinx-2ln x 2 4

x

x

x x x e dx x

x co e x C

          

    

  

  2

1. 4sin 5cos 1

1 2. 2

3. 3 x

x x dx

x dx x

e x dx

 

       

 







3 2 2

4 2

1 2 3. 3 5 9 cos sin

3x 5 tan x+2cotx+ 9 4 2

x x dx x x

x x C

         

   

 2 2

2 2

3 7 1. 9 cos sin

7 2 2. 2 2 sin s

dx x x

x dx x co x

       

        





2 3

3

2 1 1

3 3 2 2

2 1 3

3 3 2 2

5 3 5

2 3 2 2

1 4.

.

... 3 5 5 2 2 2 3

x x x x dx x

x x x x x dx

x x x x dx

x x x x C







        

         

         

      







3

2 3

2

2

2

4 5

1 1.

x 2. 4.

3.

x+ x 4 .

x 4 .

x x x dx x

xdx x x xdx x

x dx x

x dx x

        

















     

2 3

2 3

5 4 3

6 5 4

5. x-1

2 1

2

2 6 5 4

x dx

x x x dx

x x x dx

x x x C

  

  

   







 

 

 

  

2 2

2 7

2 9

1. x-2

2. 3-x

3. 1-2x

4. 1-2x 2

x dx

x dx

x dx

x dx 









ThuVienDeThi.com