Toán học - Một số phương pháp giải hệ phương trình

1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nội dung:

1) Phương pháp thế

2) Phương pháp cộng đại số

3) Phương pháp biến đổi thành tích

4) Phương pháp đặt ẩn phụ

5) Phương pháp hàm số

6) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

7) Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

GV: LÊ BỬU QUANG

ThuVienDeThi.com

2

Bài 1 : Một số dạng hệ phương trình đặc biệt.

1) Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. 2) Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao.

 PP chung : Sử dụng phương pháp thế. - Hệ 2 phương trình. - Hệ 3 phương trình. 3) Hệ đối xứng loại 1.

* Hệ phương trình: gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1, nếu hoán vị giữa x,y thì ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y

     biểu thức f(x,y) và g(x,y) không đổi. * Cách giải:

+ Đặt (*) S x y

P xy

     

+ Đưa hệ đã cho về hệ theo S và P: (I) ( , ) 0

( , ) 0

F S P

G S P

     + Giải hệ (I) tìm S và P. + Thế S và P vào (*) ta được x,y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 Ta có: 2 4 S P   * Biện luận:  Hệ đã cho vô nghiệm nếu (I) vô nghiệm hoặc hệ (I) có nghiệm (S;P) mà S2 - 4P < 0  Hệ đã cho có nghiệm, nếu hệ (I) có nghiệm (S;P) thỏa: S2 – 4P 0   Ứng với nghiệm (S0;P0) của hệ (I) thỏa điều kiện S2 – 4P > 0 thì hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

2 0 0 0

2 0 0 0

1 ( 4 ) 2

1 ( 4 ) 2

x S S P

y S S P

        

 Khi (S0;P0) thỏa S2 – 4P = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất 0 2 S x y  

Giải hệ phương trình:

2 2 0 2 x y xy x y xy

        Giải

2 2 0 2 x y xy x y xy

       

2 ( ) 4 2 x y xy x y xy

       

* Chú ý: 1) Nếu hệ đã cho chứa có dạng tổng ( x+y), tích (xy) thì ta đặt ẩn phụ để đưa về dạng hệ trên. 2) Nếu là một nghiệm của hệ đã cho thì cũng là một nghiệm của   0 0 ; x y   0 0 ; y x hệ đã cho. Do vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi 0 0 x y 

ThuVienDeThi.com

3

Đặt : điều kiện S x y

P xy

     

2 S 4 0 P  

Hệ đã cho trở thành:

2 2

2

2 4 (2 ) 4

2 2 6 0

P S S P S S

S P P S S S

                        

2 2 0 2

3 3

5

S P S P S

S S

P

                             

+ Với ta có: 3 5 S P

    

2 4 9 20 0 S P    

cặp nghiệm này không thỏa mãn.

+ Với thỏa 2

0 S P

    

2 4 0 S P  

hoặc 2 0 x y xy

     

0

2

x

y

    

0 2 y x

    Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (0;2), (2;0).

4) Hệ đối xứng loại 2.

 Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia.

 Dạng của hệ: ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) f x y f y x

      Cách giải: Nếu f(x,y) là đa thức thì ta biến đổi hệ (1) và (2) như sau:

Hệ (1) và (2) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 f x y f y x f x y f y x       

( ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 x y x y f x y f y x         Từ đây, giải tiếp.

 Chú ý: + Có trường hợp có thể cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau ta cũng có thể giải được. + Nếu các biểu thức trong hệ không có dạng đa thức thì ta đặt ẩn phụ.

Giải hệ phương trình:

3

3

3 8

3 8

x x y

y y x

       Giải

3

3

3 8 (1)

3 8 (2)

x x y

y y x

       Lấy (1) – (2) ta được:

3 3

2 2

2 2

3( ) 8( )

( )( 5) 0

5 0

x y x y x y

x y x xy y

x y

x xy y

    

     

       

ThuVienDeThi.com