Cấu trúc nhóm trong một số bài toán sơ cấp

Dành cho các bạn trẻ

LTS: "Dành cho các bạn trẻ" là mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất cảcác bạn trẻyêu Toán. Tòa soạn mong nhận được các bài viết hoặc bài dịch có giá trịcho chuyên mục.

Cấu trúc nhóm trong một số bài toán sơ cấp

Đoàn Trung Cường (Viện Toán học)

1. GIỚI THIỆU

Lý thuyết nhóm có nguồn gốc từlý thuyết số, lý thuyết các phương trình đại sốvà từhình học. Việc phát triển lý thuyết nhóm đã dẫn tới sựra đời của đại sốtrừu tượng, lý thuyết biểu diễn và nhiều ngành toán học mới khác. Ngày nay, cấu trúc nhóm xuất hiện và có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của toán học, xuất hiện trong vật lý, hóa học.

Cấu trúc nhóm xuất hiện tựnhiên trong các bài toán sơ cấp. Ví dụđơn giản nhất là các nhóm Z, Q, R, C với phép toán +. Ví dụít hiển nhiên hơn là các nhóm hữu hạn (nói chung không abel) xuất hiện trong lý thuyết số, tổhợp và đại số.

Trong bài này chúng tôi sẽđiểm lại một vài ứng dụng của lý thuyết nhóm đểgiải một sốbài toán sơ cấp. Mặc dù các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, chúng tôi sẽkhông tập trung trình bày các lời giải này mà chủyếu phân tích sựxuất hiện các cấu trúc nhóm như thếnào.

2. MỞĐẦU VỀNHÓM

Nhóm. Ta biết rằng phép cộng trên tập các sốnguyên Z thỏa mãn các tính chất kết hợp, có phần tửtrung hòa (phần tử0) và mọi phần tửđều có phần tửđối (phần tửđối của ?là −?). Ta gọi tập Z cùng với phép cộng là một nhóm.

1

ThuVienDeThi.com

Một ví dụkhác là nhóm đối xứng. Cho ?∈N và xét ?= {1, 2, . . . , ?}. Ký hiệu ??là tập tất cảcác phép hoán vịtrên ?, nghĩa là, ??là tập các song ánh ?: ?→ ?. Phép hợp thành của các ánh xạtrong ??thỏa mãn các tính chất:

(i) ∀?1, ?2, ?3 ∈??, (?1 ∘?2) ∘?3 = ?1 ∘(?2 ∘?3).

(ii) Gọi id là phép hoán vịđồng nhất, ta có id ∘?= ?∘id = ?, với mọi ?∈??.

(iii) Với ?∈??, ánh xạnghịch đảo ?−1

cũng nằm trong ??.

Khi đó ??cùng với phép hợp thành các ánh xạcũng được gọi là một nhóm.

Không phải một tập hợp với một phép toán bất kỳcũng là một nhóm (xem Ví dụ2.2(ii) ởdưới). Ta có định nghĩa tổng quát.

Định nghĩa 2.1. Một nhóm ?là một tập hợp cùng với phép toán nhóm ?× ?→ ?, (?, ?) ↦→??, thỏa mãn

- ∀?, ?, ?∈?, (??)?= ?(??) (tính chất kết hợp).

- ∃?∈?thỏa mãn ??= ??= ?, ∀?∈? (phần tửđơn vị).

- ∀?∈?, ∃?∈?sao cho ??= ??= ? (phần tửnghịch đảo).

?là một nhóm abel nếu

- ∀?, ?∈?, ??= ??(tính chất giao hoán).

Nếu phép toán nhóm viết theo lối nhân (tương ứng, lối cộng) thì phần tửđơn vị còn được ký hiệu là 1 (tương ứng, 0), phần tửnghịch đảo của ?ký hiệu là ?−1

(tương ứng, −?và gọi là phần tửđối).

Một nhóm con của ?là một tập con ?⊆?thỏa mãn ?∈?và với ?, ?∈? thì ?−1 ∈?, ??∈?. Như vậy, nếu ?∈? thì ??, ?−?∈?với mọi ?= 1, 2, . . .. Nếu ?= {??: ?∈Z} với một phần tử?nào

đó thì ?được gọi là một nhóm xyclic sinh bởi ?.

Ví dụ2.2. (i) Một sốnhóm abel quen thuộc là

- Nhóm với phép cộng: Z ⊂Q ⊂R ⊂C.

- Nhóm với phép nhân: {±1} ⊂Q× ⊂ R× ⊂C× hoặc R>0 ⊂R×. Ởđây ký hiệu ?× := ?∖{0}.

(ii) Tập R>0 không là một nhóm đối với phép cộng vì với ?∈R, ?> 0 thì −?̸∈ R>0.

Nhóm hữu hạn. Nếu nhóm ?có hữu hạn phần tửthì ta nói ?là một nhóm hữu hạn. Cấp của ?là sốphần tửcủa nhóm đó và ký hiệu là |?|. Với mỗi ?∈?có một sốnguyên dương ?> 0 sao cho ??= 1. Sốnguyên dương nhỏnhất như vậy được gọi là cấp của ?và ký hiệu là ord(?).

Ví dụ2.3. Xét tập Z/?Z gồm các lớp thặng dư mod ?. Với ¯?,¯?∈Z/?Z, ta có ¯?+ ¯?= ?+ ?và ¯?.¯?= ??. Tập Z/?Z cùng với phép cộng là một nhóm abel hữu hạn cấp ?. Xét tập (Z/?Z)* := {¯?∈Z/?Z : (?, ?) = 1}. Bằng thuật toán chia Eu- clide ta chứng minh được (Z/?Z)* cùng với phép nhân là một nhóm abel hữu hạn, cấp của nhóm này là ?(?) = #{0 < ?< ?: (?, ?) = 1}.

Ví dụ2.4. Nhóm ??là một nhóm hữu hạn và được gọi là nhóm đối xứng (hay nhóm các phép thế). ??là một nhóm abel khi và chỉkhi ?< 3. Cấp của ??là |??| = ?!. Nếu thay tập {1, . . . , ?} bởi một tập ?có ?phần tửthì ta cũng được nhóm đối xứng trên ?, ký hiệu là ??.

Với mỗi nhóm con ?của một nhóm hữu hạn ?và ?∈?, đặt ??:= {??: ?∈?}. Dễthấy với ?, ?′ ∈?thì hoặc ??= ?′?hoặc ??∩?′?= ∅(hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau). Nói …