Tài liệu ôn thi Toán vào Đại học, cao dẳng

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.

5

Chương 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là

• Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ < ;

• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ > .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≥ với mọi x I ∈ ;

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≤ với mọi x I ∈ .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :

• Nếu ( ) ' 0 f x > với mọi x I ∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;

• Nếu ( ) ' 0 f x < với mọi x I ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;

• Nếu ( ) ' 0 f x = với mọi x I ∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I .

Chú ý :

• Nếu hàm số f liên tục trên ; a b    và có đạo hàm ( ) ' 0 f x > trên khoảng

( ) ; a b thì hàm số f đồng biến trên ; a b    .

• Nếu hàm số f liên tục trên ; a b    và có đạo hàm ( ) ' 0 f x < trên khoảng

( ) ; a b thì hàm số f nghịch biến trên ; a b    .

• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ; a b    .

* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó đồng biến trên đoạn

; a b    .

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.

6

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó nghịch biến trên đoạn

; a b    .

* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( ) ; a b thì không đổi trên đoạn ; a b    .

4. Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .

• Nếu '( ) 0 f x ≥ với x I ∀∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu '( ) 0 f x ≤ với x I ∀∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số .

Xét chiều biến thiên của hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau:

• Tìm tập xác định D của hàm số .

• Tính đạo hàm ( ) ' ' y f x = .

• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( ) ' 0 f x = hoặc ( ) ' f x không xác định

( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).

• Xét dấu ( ) ' ' y f x = trên từng khoảng x thuộc D .

• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

2 1. 1 x y x + = −

2 2 1 2. 2 x x y x − + − = +

Giải: 2 1. 1 x y x + = −

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ) ;1 1; −∞ ∪ +∞.

* Ta có: ( )

2 3 ' 0, 1 1 y x x - = < ∀ ≠ −

* Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ ' y − −

y

1 −∞

+∞ 1

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

ThuVienDeThi.com