Toán học - Phần Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

20

Tuần 1 Ngày soạn:

Ngày ký:

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số. I. Mục tiêu. - Kiến thức: củng cố cách giải các dạng bài: xét chiều biến thiên, tìm tham số để hàm số thoả mãn điều kiện nào đó, chứng minh bất đẳng thức.. - Kĩ năng: rèn kỹ năng xét chiều biến thiên, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tính chất nghiệm của phương trình. - Tư duy, thái độ: tính chính xác, óc phân tích, tổng hợp, lập luận chặt chẽ. II. Thiết bị. - GV: giáo án, hệ thống bài tập tự chọn, bảng phấn. - HS: bài tập trong SBT, vở ghi, vở bài tập, bút. III. tiến trình. 1. ổn định tổ chức lớp. 2. Kiểm tra bài cũ. 3. Bài mới. Hoạt động của GV và hoc sinh Ghi bảng GV nêu vấn đề: bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau?(các hàm số GV ghi lên bảng). thông qua bài 1 rèn kĩ năng tính chính xác đạo hàm và xét chiều biến thiên cho HS. bài 2. nêu phương pháp giải bài 2?

Bài 1. xét sự biến thiên của các hàm số sau?

11 6 2 3 2 4 3 .3

8 .2

2 1 1 .1

2 3 4

2

    

   

  

x x x x y

x x y

x x y

Bài 2. Chứng minh rằng

a. Hàm số đồng biến trên mỗi 1 2

3 2 2

   x

x x y

khoảng xác định của nó. b. hàm số đồng biến trên [3; +∞). 9 2   x y c. hàm số y = x + sin2x đồng biến trên ? ¡ Giải. Ta có y’ = 1 – sin2x; y’ = 0 sin2x = 1  x=

. k 4 

Vì hàm số liên tục trên mỗi đoạn

ThuVienDeThi.com

21

Nêu điều kiện để hàm số nghịch biến trên ? ¡

Tương tự hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi nào?

và có đạo hàm y’>0 với k ; (k 1) 4 4            

nên hàm số đồng biến x k ; (k 1) 4 4             

trên , vậy hàm số đồng biến k ; (k 1) 4 4             trên . ¡ Bài 3. Với giá trị nào của m thì

a. hàm số 2 3 )1 2 ( 2 3

1 2 3        m x m x x y

nghịch biến trên R?

b. hàm số đồng biến trên mỗi 1 2     x

m x y

khoảng xác định của nó?

Giải b. C1. nếu m = 0 ta có y = x + 2 đồng biến trênR. Vậy m = 0 thoả mãn. Nếu m 0. Ta có D = R\{1} 

2

2 2 m (x 1) m y' 1 (x 1) (x 1)        đặt g(x) = (x-1)2 – m hàm số đồng biến trên các khoảng xác định nếu y’ < 0 với mọi x D  Và y’ = 0 tại hữu hạn điểm. Ta thấy g(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm nên hàm số đồng biến trên mỗi

khoảng xác định nếu  g(x) 0 x g(1) 1     

¡

m 0 m 0 m 0        Vậy m < 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Cách khác. xét phương trình y’ = 0 và các trường hợp xảy ra của 

GV hàm số lấy giá trị không đổi trên R khi nào? Nêu cách tìm f(x)?

Bài 1. Cho hàm số f(x)= 2- sin2x–sin2(a+x)– 2cosacosxcos(a+x)

a. tính f’(x)? b. chứng minh rằng f(x) lấy giá trị không đổi trên R? Tính giá trị không đổi đó?

ThuVienDeThi.com

22

để chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm có những cách nào?

Gợi ý – hướng dẫn.

a. f’(x) = - sin2x – sin2(a+x) + 2sinxcos(a+x)cosa + 2cosacosxsin(a+x) = 0. b. từ a ta có f(x) không đổi trên R. Với x = 0 ta có f(0) = 2 – sin2a – 2cos2a = sin2a. Bài 2. Chứng minh rằng

a. phương trình x – cosx = 0 có duy nhất một nghiệm? b. phương trình có một 13 2 2 2   x x nghiệm duy nhất? Gợi ý – hướng dẫn.

a. Hàm số liên tục trên R và đồng biến trên R nên phương trình có duy nhất một nghiệm. b. TXĐ: D = [2; +). Hàm số đồng biến trên [2; +) nên từ bảng biến thiên ta có phương trình có duy nhất nghiệm. Bài 2.chứng minh các bất đẳng thức sau?

a. 2sinx + tanx > 3x với x 0; 2

      

b. 22sinx + 2tanx > 2.23x/2 với x 0; 2

       Gợi ý. a. xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx - 3x trên

. 0; 2

      

Ta có f(x) đồng biến trên nên ta có 0; 2

      

f(x) > f(0) với x 0; 2

       b. áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số 22sinx ,

2tanx ta có

3x 2sinx tanx 2 VT 2 2 2    củng cố – hướng dẫn học ë nhà. GV nhấn lại tính chất của hàm số đơn điệu trên một khoảng (a; b) để vận dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc chứng minh nghiệm của phương trình. Bài về nhà.

1) Xét chiều biến thiên của hàm số

a. Y = | x2 – 3x +2|. b. Y =

2 x x x 1   

ThuVienDeThi.com