Toán học - Ứng dụng tích phân tính thể tích

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; ; D  y f x  0 y 

xung quanh truïc ”.   ; ; x a x b a b  Ox

PP giải: Ta áp dụng công thức 

2 2 b b

Ox a a V y dx f x dx  

Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; ; D  x f y  0 x 

xung quanh truïc ”.   ; ; y a y b a b  Oy

PP giải: Ta áp dụng công thức 

2 2 b b

Oy a a V x dy f y dy  

1) Cho hình phẳng giới hạn bởi : D , 0, 0, 3 D y tgx y x x      a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục D Ox 2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh của hình giới hạn bởi Parabol Oy

vaø truïc 

2 : ; 2; 4 2 x P y y y  Oy

3) Cho hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng . Tính thể tích khối tròn xoay khi  D 

2 : 8 P y x  2 x 

lần lượt quay hình phẳng quanh trục và trục .  D Ox Oy

BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi các đường: ; D  y f x 

; xung quanh truïc ”.  y g x    ; ; x a x b a b  Ox

PP giải: Ta áp dụng công thức   2 2 b

Ox a V f x g x dx  

1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường: Ox D 2 1 1; 2; ; x x y y x x 

2) Cho hình phẳng giới hạn bởi . Quay xung quanh ta được một vật thể, D 2 2 4 ; 2 y x y x  D Ox

tính theå tích cuûa vaät theå naøy.

BAØI TAÄP

1) ÑHXDHN -97: Tính bieát: Ox V   ln , 0, 1, D y x x y x x e 

2) CĐSPBTre - KA – 2002: Cho là miền giới hạn bởi đồ thị D 2 ; 0; 0; 4 y tg x y x x  

a) Tính diện tích miền phẳng D b) Cho quay quanh , tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành. D Ox

3) ÑHHH -99: Tính bieát: Ox V

3

2 , 3 x D y y x    

4) HVKTQS – 95: Tính bieát: Ox V 4 4 0; 1 sin cos ; 0, 2 D y y x x x x     

5) ÑHKTQD -98: Tính bieát: Ox V   2 5 0; 3 0 D x y x y 

6) ÑHLHN – 96: Tính bieát: Ox V   2 2 ; 2 4 D y x y x 

7) ÑHQGHN – 99B: Tính bieát: Ox V   2 2 4 6; 2 6 D y x x y x x 

8) ÑHNN1 HN -98: Tính bieát: Ox V   2; D y x y x 

9) HVNH TPHCM – 99: Tính bieát: Ox V     2 ln 1 ; 0; 1 D y x x y x 

10) CÑCNHN 2003: Tính bieát: Oy V 1 ; ; 0; 0 x D y e y y x e     ThuVienDeThi.com

Baøi 1 :

a) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C): y = và các 2 3 3 1 x x 

ñöôøng y = 0 , x = 0 , x = 3 quay quanh

* truùc Ox. (TN 03 – 04 ) * truùc Oy b) Xét hình phẳng (H) được giới hạn bởi Ox, (L) : và các đường thẳng x = 0, x = 1. ( ) 1 x f x e x   Khi quay quanh trục Ox, hình (H) sinh ra một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó.(ĐH-Huế-97)

c)(HV-NH-HCM-99) Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đường cong (L): , ) x 1 ln( x y 3   trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox. d)(§H-NNI-99) Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

. Hãy tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi 2 x và 0 x ,0 y ,x cos 2 x sin y     

cho D quay quanh trục Ox. Baứi 2 : Caùc Baứi Toaùn Theồ Tích Trong ẹeà Thi ẹaùi Hoùc 1(ĐH-HH-2000) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường và y = 4. Tính thể 2) 2 x ( y   tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh quanh:

a/ Trục Ox. b/ Trục Oy. 2(ĐHQG-HCM-2000) Có D là miền kín giới hạn bởi các đường , y = 0. x y  ,x 2 y   a/ Tìm diện tích của miền D. b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy. 3(ĐHQG-HN-99) Tính thể tích tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các parabol .6 x 2 x y và 6 x 4 x y 2 2        4)(ĐH-SP-HN-99) Trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình 5 x ,x y ; x y    phẳng (D) quanh trục Ox. 5(ĐH-TS-2000) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường: và . 2 x 4 y   2 x 2 y  …