Một số bất đẳng thức thường dùng trong chương trình THPT

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 1.Bất đẳng thức cô sy cho 2 số a, b không âm : , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 a b ab   a b 

Bất đẳng thức cô sy cho 3 số a, b, c không âm : , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 a b c abc    a b c  

2.Bất đẳng thức BunhiaCopsky cho 4 số a, b , x , y tùy ý : ; = khi     2 2 2 2 2 ax+by a b x y    a b x y 

BĐT BunhiaCopsky cho 6 số a, b, c , x , y, z tùy ý : ; = khi     2 2 2 2 2 2 2 ax+by+cz a b c x y z      a b c x y z  

Hệ quả: Nếu là các số thực và là các số dương thì: , , a b c , , x y z

* ; * ; *  

2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z

      

1 1 4 x y x y   

1 1 1 9 x y z x y z     

3.Bất đẳng thức Vector: Xét vector       ; , ; ,w ; u a b v x y m n    r r uur

*Ta có hay là u v u v    r r r r     2 2 2 2 2 2 a b x y a x b y       

Dấu = xảy ra khi cùng hướng ,u v r r

*Ta có hay là w w u v u v     r r uur r r uur     2 2 2 2 2 2 2 2 a b x y m n a x m b y n           

Dấu = xảy ra khi cùng hướng , ,w u v

r r uur

4.Một số bất đẳng thức hay sử dụng: Với là các số không âm. Khi đó ta có: , , , , , a b c x y z

* * * 2 2 2 a b c ab bc ca       

2

2 2 2 a 3

a b c b c          2 3 a b c ab bc ca     

* * *   2 2 2 2 2 2 x y y z z x xyz x y z          2 3 xy yz zx xyz x y z        

2 3 3 3 3 2 2 2 3 a b c a b c     

5.Một số hằng đẳng thức :

*        

2 x y y z y z z x z x x y x y z xy yz zx              

*        x y y z z x xyz x y z xy yz zx         

*     2 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx        

*       3 3 3 3 3 x y z x y z x y y z z x         

Bài 2: Cho là các số dương thỏa mãn , , a b c 1. a b c CMR    2 bc ca ab a bc b ca c ab       Bài 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của , , x y z , 1; 3 x y x y xy    

2 2 1 1 1 y x P x y x y      

Bài 4: Cho .CMR: ; , , 0 ab bc ca abc a b c          

4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 1 a b b c c a ab a b bc b c ac a b         

Bài 5: Cho . CMR: , , 0; 3 x y z xy yz zx         1 4 3 2 P xyz x y y z z x      

Bài 6: Cho .Tìm GTNN của   , , 0,3 a b c a a b c bc     b c P a  

Bài 7: Cho       

3 3 3 4 4 4 , , 0, 1. : 3 1 1 1 1 1 1 a b c a b c abc cmr b c a c a b           

Bài 8: Cho 3 6 , , 0, 1. :1 a b c abc cmr a b c ab bc ca        

Bài 9: Cho 3 3 3 , , 0, 2. : a b c abc cmr a b c a b c b a c c a b          

ThuVienDeThi.com

Bài 10: Cho Tìm GTLN của 2 2 2 , , 0, . a b c a b c abc     2 2 2 a b c P a bc b ca c ab      

Bài 11: Cho .Tìm GTNN của   3 , , 0;1 , 2 a b c a b c       2 2 2 os a A c b c   

Bài 12: Cho .Tìm GTNN của , , 0, 1 a b c abc         

3 3 3

1 1 1 1 1 1 a b c P b c c a a b         

Bài 13: Cho . Tìm GTNN của , , 0 a b c      3 12 4 3 2 3 2 3

b c b c a c P a b a c

      

Bài 14: Cho 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , , 0, 1. : 2 3 2 3 2 3 2 a b c abc cmr a b b c c a           

15. Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 16. Cho . Định x để y đạt GTNN.   x 18 y 2 x     x 2 y ,x 1 2 x 1

17. Cho . Định x để y đạt GTNN. 18. Cho . Định x để y đạt GTNN.     3x 1 y , x 1 2 x 1     x 5 1 y ,x 3 2x 1 2

19. Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 20. Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.   

x 5 y 1 x x

 

3

2 x 1 y

x

21. Tìm GTNN của , x > 0. 22. Tìm GTNN của , x > 0.   

2 x 4x 4 f(x) x   2

3 2 f(x) x

x 23. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 24. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.

25. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  . Định x để y đạt GTLN 5 2

28. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN    5 x 5 2

27. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,  x  . Định x để y đạt GTLN 1

2

5 2

LUYỆN TẬP BỔ SUNG

1)Cho a,b,c 0 . CMR:   

2 3 3 a b c abc a b  …