Toán học lớp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

13

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.

Hệ trục tọa độ Oxyz là hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Tức là: O . Oy z. Oz .

x Oy O Ox

       

- Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có các thành phần sau:

o Góc tọa độ O: O(0;0;0). o Trục tọa độ:

 Trục Ox: Gọi là trục hoành. Trục Oy: Gọi là trục tung. Trục Oz: Gọi là trục cao. o Các vectơ đơn vị và vecto chỉ phương của các trục tọa độ:

 Trục Ox: Có vecto đơn vị và Ox có vecto chỉ phương là .   1;0;0 i  r

 Trục Oy: Có vecto đơn vị và Oy có vecto chỉ phương .   0;1;0 j  r   0;1;0 j  r

 Trục Oz: Có vecto đơn vị và Oz có vecto chỉ phương .   0;0;1 k  r   0;0;1 k  r

o Các mặt phẳng tọa độ:

 Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx).

 Ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một, tức là:

        

Oxy z .

Oyz z .

Ozx .

Oy

O x

Oxy

       

 Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: . , n k i j      r r r r

 Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: . , n i j k     r r r r

 Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: . , n j k i      r r r r

B. Tọa độ của điểm:

Tọa độ của chính là tọa độ của điểm M, tức là: . OM uuuur

. . . ( ; ; ) OM x i y j z k M x y z     uuuur r r r

o Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0). o Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ:

 M Ox M(a;0;0). NX: Điểm nằm trên trục Ox luôn có tung độ và cao độ =0.    M Oy M(0;b;0). NX: Điểm nằm trên trục Oy luôn có hoành độ và cao độ =0.    M Oz M(0;0;c). NX: Điểm nằm trên trục Oz luôn có hoành độ và tung độ =0.   o Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ:

 M (Oxy) M(a;b;0). NX: Điểm nằm trên mp Oxy luôn có cao độ =0.    M (Oyz) M(0;b;c). NX: Điểm nằm trên mp Oyz luôn có hoành độ =0.    M (Ozx) M(a;0;c). NX: Điểm nằm trên mp Ozx luôn có tung độ =0.  

z

r k

x

ri

rj y

O

ThuVienDeThi.com

14

C. Tọa độ của vectơ: Đặc biệt: 1 2 3 1 2 3 . . . ( ; ; ). a a i a j a k a a a a      r r r r r

0 (0;0;0).  r

D. Các tính chất của vectơ.

Cho và số k tuỳ ý, ta có:     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; a a a a b b b b   r r

1. Tổng và hiệu của hai vectơ . Là một vecto. .   1 1 2 2 3 3 ; ; a b a b a b a b      r r

2. Tích của vectơ.

 Tích của vecto với một số. Là một vecto. .   1 2 3 . . ; . ; . k a k a k a k a  r

 Tích vô hướng của hai vecto: Là một số.

o Đặc biệt: . 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b    r r

. 0 a b a b    r r r r

 Tích có hướng của hai vecto: Là một vecto.

o . Đặc biệt: cùng phương . 2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a , ; ; b b b

a a a a b b b b

          

r r

, 0 a a b      r r r r

b

r

3. Độ dài vectơ. Là một số không âm.

o . Đặc biệt: Vectơ 2 2 2 1 2 3 a a a a    r

0 0.  r

4. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

o . Đặc biệt: cùng phương với .

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

r r

a kb a   r r r

b

r

5. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

o . Cần nhớ: Góc giữa hai vectơ là góc tùy ý. 

. os a,

.

a b c b

a b 

r r r r

r r

o Đặc biệt: .  os a, 0 c b   r r 

0 a, 90 b   r r

a b  r r

E. Tính chất của vecto đối với tọa độ của điểm.

Cho hai điểm . Khi đó:     ; ; , B ; ; A A A B B B A x y z x y z

1. Tọa độ vectơ là: . AB uuur   ; ; B A B A B A AB x x y y z z     uuur

2. Độ dài : Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài . AB uuur

AB uuur

.       2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z        uuur

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3. Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: . ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z I         

4. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: ; ; . 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G            

5. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là: ; ; . 4 4 4

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G                F. Vecto vuông góc, vecto cùng phương.

 Hai vecto vuông góc với nhau: Hai vecto vuông góc thì có …