Toán học - Phương pháp tọa độ trong không gian

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz 1 | T H B T N Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8

BÀI 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A - LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một

điểm gốc O. Gọi , , i j k 

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục , , Ox Oy Oz . Hệ ba trục như vậy

gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

2 2 2 1 i j k      

và . . . 0 i j i k k j      

.

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:   ; ; u x y z u xi y j zk          

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), a a a a b b b b k     



 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b       

 1 2 3 ( ; ; ) ka  



1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

 

 0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) i j k        

 a



cùng phương ( 0) b b 

 

 ( ) a kb k    



1 1

3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

, ( , , 0)

a kb

a a a a kb b b b b b b a kb

            

 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b       1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b       

 2 2 2 2 1 2 3 a a a a      2 2 2 1 2 2 a a a a    

 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. cos( , )

. .

a b a b a b a b a b

a b a a a b b b

   

   

      (với , 0 a b 

   )

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: ( ; ; ) . . . M x y z OM x i y j z k        

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:        0; 0; 0 M Oxy z M Oyz x M Oxz y         

 0; 0; 0 M Ox y z M Oy x z M Oz x y             . b) Tính chất: Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z

 ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z     

 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z      

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M         

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : ; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G            

 Toạ độ trọng tâmG của tứ diện ABCD :

; ; 4 4 4

A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G               

ThuVienDeThi.com

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz 2 | T H B T N Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a  

, 1 2 3 ( ; ; ) b b b b  

. Tích có hướng

của hai vectơ a



và ,b



kí hiệu là ,a b     

, được xác định bởi

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

           

 

 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

 [ , ] ; [ , ] a b a a b b      

 , , a b b a           

 , ; , ; , i j k j k i k i j                      

   [ , ] . .sin , a b a b a b       (Chương trình nâng cao)

 ,a b 

cùng phương [ , ] 0 a b    

(chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)  Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,a b



và c



đồng phẳng  [ , ]. 0 a b c  

 Diện tích hình bình hành ABCD : , ABCD S AB AD     



 Diện tích tam giác ABC : 1 , 2 ABC S AB AC       

 Thể tích khối hộp ABCDA B C D : . ' ' ' ' [ , ]. ABCD A B C D V AB AD AA 



 Thể tích tứ diện ABCD : 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD 



Chú ý: - Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính

góc giữa hai đường thẳng. - Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ

diện, thể tích …