Toán học - Cực trị hàm trùng phương

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1

CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m). Tìm m để hàm số có 3 cực trị và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phƣơng pháp:

Bƣớc 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b

[

( )

Để hàm số có ba cực trị y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

và khác 0 {

( ) ( ) ( )

Nhận xét: Phương trình y’ = 0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm ban đầu là hàm số chẵn nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy.

Giả sử ba điểm cực trị là A Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy.

Bƣớc 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m2 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải

Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m + 1)x.

( ) [

( )

Hàm số có 3 cực trị m + 1 > 0 m > -1

Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị:

( ) ( √ ) (√ )

Nhận xét: A Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy nên ∆ABC cân tại A tức là AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A.

Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC=>M(0; -2m – 1)

ThuVienDeThi.com

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2

Do đó để tam giác ABC vuông cân BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)

√ ( ) ( ) ( )√ ( )

(do m >-1)

1 = (m + 1) m = 0 (do m > - 1)

Cách 2: ABC vuông cân tại A. Theo định lý Pitago ta có:

AB2 +AC2 = BC2 (m + 1)[(m+1)3 – 1 ]= 0

(m + 1)3 - 1 = 0 m = 0 (do m > -1)

Cách 3: ABC vuông cân tại A

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )

m = 0 hoặc m = -1 (loại)

Với ⃗⃗⃗⃗⃗ (√ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ).

Cách 4: Sử dụng ABC vuông cân tại A ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ̂ …

Giải tiếp được m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m -1 (1), với m là tham số thực. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Giải

Đạo hàm y’ = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m ) = 0 [

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị

Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó m > 0

Cách 1: Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

( ) ( √ ) (√ )

√ √ √ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

ThuVienDeThi.com

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3

( )√

√ [

√

.

Cách 2: B và C đối xứng qua Oy, A thuộc Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC thuộc Oy. Giả sử I(0;a).

Theo giả thiết:

{

( )

√ ( ) ( )

Giải (1) ta được [

[

TH1. √ ( )

m + m4 + 2m2 + 1 = 1 m4 + 2m2 + m = 0 (loại do m > 0)

TH2. √ ( )

m + m4 - 2m2 + 1 = 1 m4 - 2m2 + m = 0 [

√

Kết hợp với m > 0 ta được [

√

Vậy với m = 1 hoặc

√

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 8m2x2 + 1 (1), với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64.

Giải

y’=4x3 – 16m2x = 4x(x2 – 4m2)

Để hàm số có 3 cực trị là y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

phương trình g(x) = x2 – 4m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 0 m≠ 0

[

ThuVienDeThi.com