Xem trước nội dung
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
1. I = = = = = ln + C x dx sin 2 1
2 cos 2 sin x x
dx
2 1
2 cos 2 tan 2 x x
dx
2 tan
) 2 (tan
x
x d
2 tan x
Cách 2: = = = - = - x dx sin x xdx
2 sin sin
x x d
2 cos 1
) (cos ) cos 1 )( cos 1(
) (cos
x x
x d
2 1 ) (cos ) cos 1
1 cos 1
1 ( x d x x
= - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = + C 2 1
2 1
x x cos 1
cos 1 ln
Rõ ràng = = = nên hai kết quả trên, đều đúng!. x x cos 1
cos 1
2 cos 2
2 sin 2
2
2
x
x
2 tan 2 x
2 tan x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = 2 1
2
t dt ; thay sinx (cosx = ; tanx = ) 2 x ) 2 tan 1( 2 1 2 x 2 1
2
t t 2
2
1 1
t t
2 1
2
t t
I = = = = ln|t| + C = ln|tan | + C x dx sin
2
2
1
2 1
2
t t
t dt
t
dt
2 x
Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số 2 x
2. = = = x dx cos
) 2 sin( x
dx
2 1
) 4 2 cos( ) 4 2 sin( x x
dx
2 1
) 4 2 ( cos ) 4 2 tan( 2 x x
dx
= =ln + C
) 4 2 tan(
) 4 2 (tan
x
x d
) 4 2 tan( x
Cách 2: = = = = x dx cos x xdx
2 cos cos x x d
2 sin 1
) (sin ) sin 1 )( sin 1(
) (sin
x x
x d
2 1 ) (sin ) sin 1
1 sin 1
1 ( x d x x
= (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = + C 2 1
2 1
x x sin 1
sin 1 ln
Rõ ràng = = = = x x sin 1
sin 1
2
2
) 2 cos 2 (sin
x x
x x
2 cos 2 sin
2 cos 2 sin
x x
x x
) 4 2 cos( 2
) 4 2 sin( 2
x
x
) 4 2 tan( x
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = 2 1
2
t dt ; thay cosx = 2 x ) 2 tan 1( 2 1 2 x 2
2
1 1
t t
I = = = = = = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = + C x dx cos
2
2
2
1 1 1
2
t t t dt
2 1
2
t dt ) 1 )( 1(
2
t t
dt dt t t ) 1
1 1
1 ( t t 1 1 ln
= ln + C ) 4 2 tan( x
3. I = Đặt u = du = dx; dv = v = tanx x dx
3 cos x cos
1 x x
2 cos
sin
x dx
2 cos
AD CT NH TP : I = - = - = - I1 x x cos
tan x
xdx x
2 cos
tan . sin
x x cos
tan x xdx
3
2
cos sin
x x cos
tan
ThuVienDeThi.com
HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định
Với I1 = = = - = I - x xdx
3
2
cos sin
x
xdx
3
2
cos
cos 1 x dx
3 cos x dx cos ) 4 2 tan( ln x
Từ đó I = - I1 = - (I - ln ) x x cos
tan
x x cos
tan ) 4 2 tan( x
2I = + ln + C I = ( + ln ) + C x x cos
tan ) 4 2 tan( x 2 1
x x cos
tan ) 4 2 tan( x
4. Đặt 3 sin
dx I x
2
2
1 cos sin sin cot sin
x u du dx x x dx v x dv x
Tính 1 2 cot cot .cos cot sin sin sin x x x x I dx I x x x
2 2
1 3 3 3 cos 1 sin ln tan sin sin sin sin 2 x x dx dx x I dx dx I C x x x x
1 cot cot ln tan sin sin 2 x x x I I I C x x cot 1 cot 2 ln tan ln tan 2 sin 2 2 2sin x x x x I C I C x x
5. = = = + C 2 2 a x
dx ) )( ( a x a x
dx
a 2
1 dx a x a x ) 1 1 ( a 2
1
a x
a x
ln
6. I = Đặt x = atant dx = ; = = = 2 2 a x
dx t adt
2 cos
2 2 a x 2 2 2 tan a t a ) tan 1( 2 2 t a t a cos
= = = ln + C , với t = arctan . 2 2 a x
dx
t a t
adt
cos ) (cos2 t dt cos ) 4 2 tan( t
a
x
Cách 2: Đặt t = x+ dt = (1+ )dx = dx = dx dx = dt 2 2 a x
2 2 a x
x
2 2
2 2
a x
a x x
2 2 a x
t
t
a x 2 2
Từ đó I = = = = ln|t| + C = + C 2 2 a x
dx
2 2
2 2
a x t
dt a x t
dt 2 2 ln a x x
7. I = Đặt x = dx = ; = = a.tant 2 2 a x
dx
t a cos dt t t a
2 cos
sin 2 2 a x 2 2
2
cos a t a
= = = ln + C, với t = arccos . 2 2 a x
dx
t t a
dt t t a
cos
sin .
cos
sin
2
t dt cos ) 4 2 tan( t
x a
Cách 2: Đặt t = x + dt = (1+ )dx = dx = dx 2 2 a x
2 2 a x
x
2 2
2 2
a x
a x x
2 2 a x
t
dx = dt Từ đó I = = = = ln|t| + C = + C t
a x 2 2 2 2 a x
dx
2 2
2 2
a x t
dt a x t
dt 2 2 ln a x x
8. = = ln|x2 + a| + C 9. = = ln|x2 - …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
