Toán học - Chủ đề 9 Một số ứng dụng của số phức

Chuyên đề: Số phức

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC....................................................................................................... 3

Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình .............................................................................................. 3 Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác .......................................... 10 Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức .............................................................................................. 20 Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn ............................................................ 23 Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức .................................................................................. 27

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Số phức

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 3

CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC

Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình

Xét hệ phương trình: f(x;y) g(x;y) (1) h(x;y) k(x;y) (2)     

Lấy (2) nhân i sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được : f(x;y) h(x;y).i g(x;y) k(x;y).i (*)   

Đặt z x yi   , biểu diễn (*) thông qua các đại lương z,z,|z|,...

I. Các ví dụ điển hình thường gặp

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:

3 2

2 3 2x 6xy 5 . 6x y 2y 5 3

   

  

Giải

Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai nhân i ta được

   

3 3 2 2 3 1 3 2x 6xy i 6x y 2y 5 5 3i x yi 5 i 2 2

                

z x yi    là một căn bậc ba của số phức 1 3 5 i 2 2

        

Ta có:

1 3 1 3 5 i 5 cos isin 5 i 2 2 3 3 2 2

                            

có ba căn bậc ba là

3 3 3 0 1 0 7 7 13 13 z 5 cos isin , z 5 cos isin , z 5 cos isin 9 9 9 9 9 9                              

Vậy với 0 1 2 z z ,z z ,z z    ta được nghiệm của phương trình là:

3 3 3

3 3 3

7 13 x 5 cos x 5 cos x 5 cos 9 9 9 , , 7 13 y 5 sin y 5 sin y 5 sin 9 9 9

                                

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:

3 2 2 2

3 2 x 3xy 3x 3y 3x 0

y 3x y 6xy 3y 1 0

      

     

.

Giải

Hệ đã cho tương đương với    

 

3 2

2 3

x 1 3y x 1 1

3 x 1 y y 1

          

Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ 2 nhân i ta đươc

      3 2 2 3 x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y 1 i             

 

3 x 1 iy 1 i z x 1 iy      là một căn bậc 3 của 1 i  .

Ta có:

1 i 2 cos isin 4 4          

nên 1 i  có ba căn bậc ba là

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Số phức

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 4

6 6 6 0 1 2 3 3 17 17 z 2 cos isin , z 2 cos isin ,z 2 cos isin 4 4 4 4 4 4                              

Vậy với 0 1 2 z z ,z z ,z z    ta được nghiệm của phương trình là:

6 6 6

6 6 6

3 17 x 1 2 cos x 1 2 cos x 1 2 cos 12 4 12 , , 3 17 y 2 sin y 2 sin y 2 sin 12 4 12

                                

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

3x y x 3 (1) x y x 3y y (2) x y

            

.

Giải

Cách 1. Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được

      

2 2 2 2 2 2 3x y x 3y i 3 x yi x yi i x yi 3 x yi 3(*) x y x y x y

               

Đặt z x yi;x,y    . Lúc đó:

   

2 3 i z 3 i z 2 i (*) z 3 z 3 z 1 i z |z|

x 2 y 1 x yi 2 i x yi 1 i x 1 y 1

                                 

.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:     x,y 2;1 , x,y 1; 1    .

Cách 2. Ta thấy x 0,y 0   không là nghiệm của hệ phương trình

 Nhân (1) với x , nhân (2) với y ta được

2 2

2 2

2 2

2 2

3x xy x 3x x y

xy 3y y 0 x y

    

  

      

trừ vế theo vế ta được 2 2 x …