Toán học - Chủ đề 5 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN .......................................................... 3

I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ......................................................................... 3

II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ....................................... 18

ThuVienDeThi.com

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3

CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Phương pháp

 Tìm số phức   z x yi, x,y    thật ra là tìm phần thực x và phần ảo y của nó.

 Chú ý rằng:

2 2 z z  ,

2 2 z z  khi z là số thực

 x 0 z x yi 0

y 0

     

,

 1 1 1 2 2 2 z x y i; z x y i     . Khi đó: 1 2 1 2

1 2

x x z z

y y

      

   z x yi, x,y    . Khi đó z là số ảo (thuần ảo) khi x 0  , z là số thực khi y 0  .

 Trong trường hợp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ta làm như sau:

 Bước 1: Tìm tập hợp điểm ( )  các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện.

 Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ( ) sao cho khoảng

cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất )

I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn

2 a) z z 0;  

2 b) z z 0;  

2 c)z 2z. 

d) 2 z z z   ; e) 3 z z  z f) z 2. z

 

Giải

a) Đặt   z x yi, x,y    . Phương trình 2 z z 0   trở thành :

2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 0 x y 2xyi x y 0

2xy 0

          

 

2 2 2 2 2

2 2 2

x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y y y y 0 x x 0

x 0 x 0 x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y y y y 0 y y 0

x 0 x 0 x 0 y 0 y 1 y 1

                                                                                     

Vậy số phức cần tìm là z 0, z i, z i    .

b) Đặt     2 2 2 z x-yi z x yi, x,y

z x y 2xyi

         

Phương trình 2 z z 0   trở thành:

ThuVienDeThi.com

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4

 

 



2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0

x x y 0 * x x y 0 x x y 0 y 0 y 2x 1 0 2xy y 0 1 x 2

          

                                  

Với y 0  thay vào (*) ta được: 2 x 0 x x 0

x 1

    

Với 1 x 2  thay vào (*) ta được:

3 y 2

3 y 2



   

 

Vậy các số phức cần tìm là 1 3 1 3 z 0, z 1, z i, z i. 2 2 2 2      

c) Đặt   z x yi x,y R z x yi.       Phương trình 2 z 2z  trở thành

 

2 2 2 2 x y 2x (1) x y 2xyi 2x 2yi

xy y (2)

(2) y x 1 0 y 0,x 1.

               

Với y 0  , (1) 2 x 2x 0 x 0 x 2.       

với x 1  , (1) 2 y 3 y 3    

Vậy số phức cần tìm là: z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3     .

d) Giả sử z x yi     x,y . Khi đó:

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

z z z x yi x y x yi

x y x y x x y x y 2xyi x yi

2xy y

       

                    

 TH1: 1 x 2  ta được

2 2 2 2 1 1 1 1 3 y y y y 4 4 2 4 4        

2 2

2 4 2 4 2

3 3 y 0 y 5 2 5 4 y 4 2 1 3 19 y y y 16y 40y 5 0 4 2 16

                         

 TH2: 2 y 0 x x x x 0 x y 0.         

ThuVienDeThi.com