Toán học - Chủ đề 4 Một số dạng toán về chứng minh số phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC ........ 3

I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG .................................................. 3

II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ............. 12

ThuVienDeThi.com

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3

CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC

Phương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:

Cho số phức      z x yi, x,y . Lúc đó

   z x yi .

   2 2 z x y .

  2 z z.z . Công thức này chứng minh dễ dàng như sau:

                

2 2 2 2 2 z.z x yi x yi x y x y z .

I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

               

1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

z z a) z z z z ; b) z .z z .z ; c) , z 0 z z

Áp dụng: Cho ba số phức 1 2 3 z ,z ,z đều có môđun bằng 1. Chứng minh

     1 2 3 1 2 2 3 1 3 z z z z z z z z z .

Giải

Giả sử:        1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 z x y i, z x y i, x ,x ,y ,y

a) Ta có:

  1 1 1 z x y i và   2 2 2 z x y i nên         1 2 1 2 1 2 z z x x y y i

Mà                  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z x x y y i z z x x y y i

Vậy    1 2 1 2 z z z z .

b) Ta có:

            1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z x y i x y i x x y y x y x y i Mặt khác:

            1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z x y i x y i x x y y x y x y i         1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z x x y y x y x y i

Vậy  1 2 1 2 z .z z .z .

c) Ta cần chứng minh bổ đề sau: 

   1 1 z z , z 0

Vì  1 z. 1 z nên ta có 

                  

1 1 1 1 z. 1 z. 1 z z z z

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

ThuVienDeThi.com

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 4

 

                              

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2

z z 1 1 z . z . z .z z . z . z z z z (ĐPCM)

Áp dụng: Vì  1 2 3 z z z 1nên

          

        

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

z z z z z z z z z z z z 1 1 1 z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z

Lưu ý: Ta có công thức tổng quát sau: Cho n số phức 1 2 n z ,z ,...,z bất kỳ.

Ta luôn có:

         

 

1 2 3 n 1 2 3 n

1 2 3 n 1 2 3 n

z z z ... z z z z ... z

z z z ...z z .z .z ...z .

Trước hết ta chứng minh:          1 2 3 n 1 2 3 n z z z ... z z z z ... z

Giả sử:      k k k z a b i, k 1,2,3,...,n và

    

n

k k 1 z z a bi

Trong đó:

     

n n

k k k 1 k 1 a a , b b

Ta có:

                

n n n n

k k k k k k 1 k 1 k 1 k 1 z a bi a b a b i z

Hay          1 2 3 n 1 2 3 n z z z ... z z z z ... z

Bây giờ ta chứng minh    1 2 3 n 1 2 3 n z z z ...z z .z .z ...z * * bằng quy nạp

Với  n 2: Giả sử     1 1 1 2 2 2 z a b i, z a b i

Ta có:             1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z a b i a b i a a b b a b a b i

Suy ra:        1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z a a b b a b a b i

Mặt khác:             1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z a b i a b i a a b b a b a b i

Vậy với  n 2 đẳng thức đúng.

Giả sử (**) đúng với     n k, n 2 ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với   n k 1

Thật vậy:

Đặt  1 2 k z z z ...z , ta có:   1 2 3 n 1 2 3 k z z z z ...z z .z .z ...z

Với hai số phức z và  k 1 z ta có:      k 1 k 1 1 2 3 k k 1 z.z z.z z .z .z ...z .z

Hệ thức cuối được chứng minh với   n k 1.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

a)  1 2 1 2 z .z z . z ; b)  1 1

2 2

z z z z

Áp dụng: Tìm mô đun các số phức sau:

ThuVienDeThi.com