Chuyên đề Số phức - Chủ đề 2 Biểu diễn hình học các số phức

Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2

CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC

Phương pháp

 Trong mặt phẳng phức, số phức    z x yi, (x,y ) được biểu diễn bằng :

 Điểm   M x;y , kí hiệu  M z

 Vectơ    OM x;y

 Vectơ  u (x;y)

 Biểu diễn hình học của  z, z, z

 M z và    M z đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

 M z và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox.

 Biểu diễn hình học của      ' ' z z ,z z ,kz k

Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức z; ' M ,v biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:

 OM OM' và  u vbiểu diễn số phức  z z’ ;

  OM OM' M'M và  u v biểu diễn số phức  z z’;

kOM, ku biểu diễn số phức kz.

 Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì :

   OM z ;AB b a .

I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số phức a,b,c.

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G. Các

điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.

a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.

b) Nếu thêm giả thiết   a b c ,chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu

  a b c 0.

Giải

a) M là trung điểm của AB           1 1 OM OA OB m a b . 2 2

G là trọng tâm của tam giác ABC     1 1 OG OA OB OC g a b c . 3 3        

D là điểm đối xứng của A qua G G là trung điểm của AD

 

        

    

   

2OG OA OD 2g a d d 2g a 1 d 2. a b c a 3 2 2 2 d b c a. 3 3 3

b) Giả thiết       a b c OA OB OC O là tâm đường

D

G

M

C

A B

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học các số phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3

tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy tam giác ABC là tam giác

đều         O G g 0 a b c 0.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức

     a 2 2i,b 1 i,c 5 mi    m R .

a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);

b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.

Giải

a) ABCD là hình bình hành

   

         

     

   

CD BA d c a b d a c b

d 2 2i 5 mi 1 i

d 8 m 3 i.

b) ABCD là hình chữ nhật

      AC BD c a d b

     

       

             

           

           

2 2 2 2 2 2

2 2

5 mi 2 2i 8 m 3 i 1 i 3 m 2 i 9 m 4 i

3 m 2 i 9 m 4 i 3 m 2 9 m 4

9 m 4m 4 81 m 8m 16 12m 84 m 7.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :

z,

        

3 i 3 z 3 và i z.

3

Chứng minh rằng:

a)  z C, tam giác OMA vuông tại M;

b)  z C, tam giác MAB là tam giác vuông;

c)  z C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật.

Giải

a) Đặt

        

3 i 3 a z 3 và i b z. 3

Ta có:  OM z

       

            

3 i 3 1 1 2 OA a z 1 i z 1 z z 3 3 3 3

i i 1 MA a z 1 z z z z . 3 3 3

Nhận thấy:

2 2 2 2 2 2 1 4 OM MA z z z OA , z . 3 3      

Vậy tam giác OMA vuông tại M.

b) Ta có:

C

A D

B

ThuVienDeThi.com