Toán học - Chương 3 Nguyên hàm- Tích phân và ứng dụng

Chương 3. NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG

 0dx C  

 dx x C   

  

1

1 1 x x dx C

   

     

 1 ln dx dx x C x x     

 x x e dx e C   

   0 1 ln

x x a a dx C a a     

 sin cos xdx x C   

 cos sin xdx x C   

 2 2 1 tan cos cos

dx dx x C x x     

 2 2 1 cot sin sin

dx dx x C x x     

       1 cos sin 0 ax b dx ax b C a a      

       1 sin cos 0 ax b dx ax b C a a      

   1 0 ax b ax b e dx e C a a

     

 1 1 ln dx dx ax b C ax b ax b a        

2. LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

1. 

3 3 4 f x x x x   

2. 

3 4 f x x x x   

3. 

4

2 2 2 x f x

x

 

4.  3 5 1 3 5

2 f x

x x x   

5.  2

1 x f x

x

 

6. 

2 2sin 2

x f x 

7. 

2 tan f x x 

8. 

2 cos f x x 

9.  2 2 1 sin cos f x

x x 

10. 

4 3 sin cos f x x x 

11.  2sin 3 cos2 f x x x 

12.    1 x x f x e e  

13.  2 2

cos

x x e f x e

x

        

14. 

3 1 x f x e  

Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số f(x) sau thỏa mãn điều kiện tương ứng

1.   3 4 5 1 3 f x x x F     2.   3 5cos 2 f x x F    

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2

3.  

2 3 5 1 x f x F e x   

4.  

2 1 3 1 2 x f x F x

  

5.   1 1 2 f x x x F x   

6.  sin2 cos ' 0 3 f x x x F         

7.  

4 3

2 3 2 5 1 2 x x f x F x    

8.    

3 2

2 3 3 7 0 8 1

x x x f x F x

     

9. 

2 sin 2 2 4 x f x F          

Bài 3. Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x)

1.   3 2 2 5 4 7 120; 15 8 7 F x x x x f x x x       

2.     2

2

1 ln 3 ;

3 F x x x f x

x    



3.     4 5 ; 4 1 x x F x x e f x x e    

4.   4 5 3 tan 3 5; 4tan 4tan 3 F x x x f x x x      

5.    

2

2 2 2 4 2 ln ; 3 4 3

x x F x f x x x x

            

6.     2 2

4 2

2 2 1 2 1 ln ;

1 2 1

x x x F x f x

x x x

    

   Bài 4. Tính các nguyên hàm sau

1.  

11 5 1 x xdx  

2.  

5 3 2

dx

x  

3. 5 2xdx  

4.  

7 2 2 1 x xdx  

5.  

4 3 2 5 x x dx  

6. 2 5 x dx x  

7. 2 1 x xdx  

8.

2

3 3

5 2

x dx x  

9.  

2 1

dx

x x  

10.

2 sin cos x xdx 

11. 5 sin cos

x dx

x 

12. 2 tan

cos

xdx

x 

13.

3

x

x e dx

e  

14.

2 1 x xe dx  

15.

x e dx x 

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3

16.

3 ln x dx x 

17.

1 x

dx e  

18.

tan

2 cos

x e dx x 

Bài 5. Tính các nguyên hàm sau

1.

 

3 2 1

dx

x  

2.  

3 2 1

dx

x  

3.

2 1 x dx  

4.

2 4

dx

x  

5.

2 2 1 x x dx  

6. 2 1

dx

x  

7.

2

2 1

x dx

x  

8. 2 1 dx x x   

9. 3 2 1 x x dx  

10.

2 2 1 x x dx  

11.

2

2 4

x dx x  

12.

2

1

3

dx x  

Bài 6. Tính các nguyên hàm sau

1.   ln 1 x x dx  

2.   2 2 1 x x x e dx   

3. sin2 x xdx 

4.   1 cos x xdx  

5. sin2 x e xdx 

6.

2 cos x xdx  Bài 9. Tính các nguyên hàm sau

1.

x xe dx 

2. cos x xdx 

3. lnxdx 

4.   ln 1 x x dx   

5.   2 3 1 x x x e dx    

6. sin x xdx 

7.   sin 2 1 x x dx  

8.   1 cos x xdx  

9.   1 2 x x e dx  

10.

x xe dx  

11.

2 ln x xdx 

12.

2 x xe dx  

13.   2 1 xe x dx  

14.   1 cos x xdx  

15. cos x e xdx 

16. sin x e xdx 

17.

2 cos x xdx 

18.

2 cos x xdx 

19. sin xdx 

20. cos xdx 

ThuVienDeThi.com