Toán học lớp 12 - Bài tập Nguyên hàm

HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định

ĐỂ LÀM TỐT NGUYÊN HÀM CÁC EM CẦN NẮM

1. Bảng nguyên hàm thường dùng:

= = = = = dx 0 dx  dx x x

dx  dx ex

= = = = =  dx ax  dx cos  xdx sin  x dx

2 cos  x dx

2 sin

2. Nếu = F(x) +C Thì F(ax+b) + C , a 0. Suy ra các công thức sau:  dx x f ) (    a dx b ax f 1 ) ( 

= = =   dx b ax ) (  b ax

dx 

dx e b ax

= = = 

dx a x     dx b ax ) cos(   dx b ax ) sin(

= =  ) ( cos2 b ax dx  ) ( sin 2 b ax dx

3. Với u là hàm số theo x thì du = u'.dx

VD: d(tanx) = (tanx)'dx = (1+tan2x)dx; d(lnx) = ; d(sinx) = cosxdx; .... x dx

4. Nếu thấy biểu thức A có đạo hàm bằng biểu thức B (hoặc sai khác k.B) thì thường đặt t = A

VD: NX: (x2004 + 1)' = x 2003 2004 2003 1. I x x dx   

Đặt . Từ đó ta được: 2004 2003 2003 1 1 2004 2004 t x dt x dx x dx dt     

1 3 2 2 1 1 1 2 . 2004 2004 2004 3 I tdt t dt t C        

3 3 2004 1 1 1 3006 3006 t C x C     

Hoặc trình bày nhanh như sau :

= = + C 2004 2003 1. I x x dx    2004

1    )1 ( )1 ( 2004 2 1 2004 x d x 2004

1

3 2 2 3 2004 )1 (  x

5. Đổi biến Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu

, a>0   2 2 x a

dx Đặt x = a.sint , t      2 ; 2

 

Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx

Chứa x

dx Đặt u = lnx

, a>0   2 2 x a

dx Đặt x = a.tant , t        2 ; 2

 

6. Từng phần

P(x).ex .dx P(x).sinx .dx P(x).cosx .dx P(x).lnx.dx ex.sinx.dx ex.cosx.dx u = P(x) du=P'(x)dx

u = P(x) du=P'(x)dx

u = P(x) du=P'(x)dx u = lnx du=  x dx u= xe  du = exdx

u= xe  du = exdx

dv =

xe dx v=ex 

dv = sinxdx

v = -cosx 

dv = cosxdx

v = sinx 

dv = P(x)dx

v =   dx x P ) (

dv = sinxdx

v = -cosx 

dv = cosxdx

v = sinx 

ThuVienDeThi.com

HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định

Luyện tập

Dạng 1: Biến đổi, áp dụng công thức tìm nguyên hàm các hàm số sau:

1. 2x3; 2. ; 3. ; 4. ; 5. sin2x; 6. cos2x; 7. cos ; 1  x 3 2x

x  1

1

3 2x

8. sin(3x-1); 9. 10. ; 11. ; 12. (x-1)(x3 - 3x); 13. 2x.3x; ) 2 ( )1 ( 2 3   x x 3

2 1 2 x

x x x  

x x 2 2 

14. ; 15. ; 16. sin2xcosx; 17. ; 18. ; 19. 1 - cot2x; 2

2 cos 1 x 

1 1

2  x )1 )( 1 2 (

1

  x x x

x

e

3 3 

20. x - tan2x; 21. ; 22. ; 23. ; 24 ; 25 sin4x.cos22x.; x x 2 2 cos sin

2

2) cos (sin

1

x x  x x   2

2

1

1 3





x

x

e e

26. 5x - 1 27. 28. 29. 30. tan3x 5) 2 3 (

1

x  x 2 5 

1 2

1

 x

Dạng 2: Đổi biến

1. 2. 3. 4.   xdx x 7 2 )1 2 (   dx x x 2 4 3 ) 5 ( xdx x .1 2     dx x

x

5 2

5. 6. 7. 8.  

dx x

x

3

2

2 5

3   2) 1( x x

dx dx x

x 

3 ln 

dx e x x 1 2 .

9. 10. 11. 12.  xdx xcos sin 4  dx x x

5 cos

sin  xdx cot  x xdx

2 cos tan

13. 14. 15. 16.  x dx sin  x dx cos  xdx tan  dx x

e x

17. 18. 19. 20.  3 x

x

e

dx e  dx x etgx

2 cos   dx x . 1 2   2 4 x

dx

21. 22. 23. 24.   dx x x . 1 2 2  2 1 x dx   2

2

1 x

dx x    2 2 x x

dx

25. 26. 27. 28.  xdx x 2 3 sin cos dx x x .1    1 x e

dx dx x x .1 2 3  

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần. 1. 2. 3. 4.  xdx x sin .  xdx xcos   xdx x sin ) 5 ( 2    xdx x x cos ) 3 2 ( 2

5. 6. 7. 8. 9.  xdx x 2 sin  xdx x 2 cos  dx e x x .  xdx ln  xdx x 2 cos 2

10. 11. 12. 13. 14. 15.  xdx xln dx x 

2 ln  x

xdx ln  dx e x  dx x x

2 cos

16. 17. 18. 19. 20.  xdx x 2 tan  dx x sin   dx x )1 ln( 2   dx x x ) 1 ln( 2  xdx e x cos .

21. 22. 23. 24.  dx e x x2 3   dx x x ) 1 ln( 2  xdx x 2  xdx xlg 

 dx x

x

2

) 1 ln(

= Good luck =

ThuVienDeThi.com