Các dạng toán nâng cao về số phức

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179)

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 )

1

Chuyên đề luyện thi đại học 2017:

CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ SỐ PHỨC

Câu 1: Tính môđun của số phức z biết z thỏa:      z i z i i        2 1 1 1 1 2 2

(trích đề thi chính thức TSĐH khối A 2011, phần Cơ Bản )

 HD giải: Gọi số phức z có dạng   z x yi, x; y R;i     2 1 và z x yi  

Ta có:      x yi i x yi i i          2 2 1 1 1 1 2 2

      

x y x y y x x y i

x y x y i i

x x y z i z x y y

                          

                      

2 1 2 1 2 2 1 1 2 2

3 3 2 2 2

1 3 3 2 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 3

*Chú ý 1:

Cho 2 số phức z a bi,z x yi     1 2 thì:

●    z z a x b y i      1 2 ● a x z z b y

    1 2 (thực = thực, ảo = ảo)

●    z .z ax by bx ay i     1 2 ● Môđun: z a b   2 2 1 , z x y   2 2 2

● Số phức liên hợp: z a bi   1 (đổi dấu phần ảo) và đặc biệt z .z a b z   

2 2 2 1 1 1

● Khử dạng phức ở mẫu: z a bi z z z a b   



1

2 2 1 1 1

1 (lượng liên hợp).

● Để z a bi   1 số thực thì phần ảo bằng 0 b  0

● Để z x yi   2 là số thuần ảo thì phần thực bằng 0 và phần ảo khác 0 x

y

    

0

0

■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của các số phức z sau:

a.  i z z i     2 1 2 4 20 b. z z z   2 2 c.      i i z i i z      2 1 1 8 1 2

d.   z i i    

3 4 3 1 e.   z i  

4 1 2 f. z i z i z i      4 3 7 2

g. z z   2 0 h. z z   2 0

■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a. z z    2 3 3 0 b. z   3 1 0 c. z z z     3 2 6 0

d. z z    4 2 7 10 0 e. z z z z     

2 4 3 1 0 2

f.     z i z i        2 3 6 3 13 0

Câu 2: Tìm căn bậc hai của số phức sau: i  1 2 2

ThuVienDeThi.com

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179)

Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 )

2

 HD giải: Ta đặt   i a bi   

2 1 2 2 . theo chú ý 1, ta có:





  

a b

ab

a b



           

2 2

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

1 2 2 3

Từ 

ab a ,

b

          

2

2 0 2

1 1 3

2

ta chọn

a

b

  

1

2

.

*Chú ý 1: Giả sử ta có x yi   . Ta cần   a bi  

2 . khi đó:

 



a b x

ab y

a b x y

      

   

2 2

2 2 2 2

1

2 2

3

Giải pt (1) và (3) tìm được a ?,b ?   2 2 , dựa vào pt (2) xét dấu chọn a ?

b ?

  

■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a. z i   8 6 b. z i  c. z i   1

d. i  16 30 e. z i   77 4 9

f. z i   1 2 6

g. z i   3 6 6 h.    z i    4 2 6 2 3 2 2 i. z i   44 2 5 9 3

Câu 3: Tìm số phức z thỏa mãn:   z i    2 10 và z.z 25 ( TSĐH khối B 2009 )

 HD giải: Ta đặt z x yi   ( x;y R;i   2 1)

Ta có:          x y i x ; y z i x y

x ; y z.z x y x y

                                        

2 2

2 2 2 2 2 1 10 3 4 2 10 2 1 10

5 0 25 25 25

Vậy có 2 số phức z i   3 4 hay z 5 thỏa yêu cầu bài toán.

Chú ý 2: Mỗi một số phức z biểu diễn tọa độ 1 điểm trên mặt phẳng Oxy. Ví dụ   z x yi M x; y   

Khi đó   Re z x, Im z y   lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm.

■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm điểm biểu diễn của các số phức z, biết rằng z thỏa mãn:

a. z z   2 2 và z 2 b. z 5 và z i z





7

1

là số thực

c. z i z i      1 2 2 và z i   5 d. z i z   2 và z i z   1

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: | z - (3 - 4i) | = 2 ( TSĐH khối D 2009 )

 HD giải: Ta đặt Ta đặt z x yi   ( x;y …